Вероятность попадания значений нормальной СВ в интервал, симметричный относительно математического ожидания, правило трех сигм. Нормальный закон распределения вероятностей Найти интервал симметричный относительно математического ожидания примеры
Как было сказано ранее, примерами распределений вероятностей непрерывной случайной величины Х являются:
- равномерное распределение
- показательное распределение вероятностей непрерывной случайной величины;
- нормальное распределение вероятностей непрерывной случайной величины.
Дадим понятие нормального закона распределения, функции распределения такого закона, порядка вычисления вероятности попадания случайной величины Х в определенный интервал.
| № | Показатель | Нормальный закон распределения | Примечание |
|---|---|---|---|
| Определение | Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид | ||
| где m x – математическое ожидание случайной величины Х, σ x – среднее квадратическое отклонение | |||
| 2 | Функция распределения |  |
|
| Вероятность попадания в интервал (а;b) |  |
 - интегральная функция Лапласа |
|
| Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа δ |  |
при m x = 0 |
Пример решения задачи по теме «Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины»
Задача.
Длина X некоторой детали представляет собой случайную величину, распределенную по
нормальному закону распределения, и имеет среднее значение 20 мм и среднее квадратическое
отклонение – 0,2 мм.
Необходимо:
а) записать выражение плотности распределения;
б) найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 19,7 и 20,3 мм;
в) найти вероятность того, что величина отклонения не превышает 0,1 мм;
г) определить, какой процент составляют детали, отклонение которых от среднего значения
не превышает 0,1 мм;
д) найти, каким должно быть задано отклонение, чтобы процент деталей, отклонение которых
от среднего не превышает заданного, повысился до 54%;
е) найти интервал, симметричный относительно среднего значения, в котором будет находиться X
с вероятностью 0,95.
Решение. а) Плотность вероятности случайной величины X, распределенной по нормальному закону находим :
при условии, что m x =20, σ =0,2.
б)
Для нормального распределения случайной величины вероятность попасть
в интервал (19,7; 20,3) определяется :
Ф((20,3-20)/0,2) – Ф((19,7-20)/0,2) = Ф(0,3/0,2) – Ф(-0,3/0,2) = 2Ф(0,3/0,2) = 2Ф(1,5)
= 2*0,4332 = 0,8664.
Значение Ф(1,5) = 0,4332 мы нашли в приложениях, в таблице значений интегральной функции Лапласа Φ(x)
(таблица 2
)
в)
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа 0,1 найдем
:
Р(|Х-20| < 0,1) = 2Ф(0,1/0,2) = 2Ф(0,5) = 2*0,1915 = 0,383.
Значение Ф(0,5) = 0,1915 мы нашли в приложениях, в таблице значений интегральной функции Лапласа Φ(x)
(таблица 2
)
г) Поскольку вероятность отклонения, меньшего 0,1 мм, равна 0,383, то отсюда следует, что в среднем 38,3 детали из 100 окажутся с таким отклонением, т.е. 38,3%.
д) Поскольку процент деталей, отклонение которых от среднего не превышает заданного, повысился до 54%, то Р(|Х-20| < δ) = 0,54. Отсюда следует, что 2Ф(δ/σ) = 0,54, а значит Ф(δ/σ) = 0,27.
Используя приложение (таблица 2 ), находим δ/σ = 0,74. Отсюда δ = 0,74*σ = 0,74*0,2 = 0,148 мм.
е) Поскольку искомый интервал симметричен относительно среднего значения m x = 20, то его можно определить как множество значений X, удовлетворяющих неравенству 20 − δ < X < 20 + δ или |x − 20| < δ .
По условию вероятность нахождения X в искомом интервале равна 0,95, значит P(|x − 20| < δ)= 0,95. С другой стороны P(|x − 20| < δ) = 2Ф(δ/σ), следовательно 2Ф(δ/σ) = 0,95, а значит Ф(δ/σ) = 0,475.
Используя приложение (таблица 2
), находим δ/σ = 1,96. Отсюда δ = 1,96*σ = 1,96*0,2 = 0,392.
Искомый интервал
: (20 – 0,392; 20 + 0,392) или (19,608; 20,392).
Заданы математическое ожидание а=3 и среднее квадратичное отклонение =5 нормально распределенной случайной величины Х.
Написать плотность распределения вероятностей и схематично построить ее график.
Найти вероятность того, что х примет значение из интервала (2;10).
Найти вероятность того, что х примет значение превышающее 10.
Найти интервал симметричный относительно математическое ожидание, в котором с вероятностью =0,95 будут заключены значения величины х.
1). Составим функцию плотности распределения случайной величины Х с параметрами а=3, =5 воспользовавшись формулой
.
Построим схематически график функции
.
Обратим внимание на то, что нормальная
кривая симметрична относительно прямой
х=3 и имеетmax
в этой точке, равный
,
т.е.
и
две точки перегиба
с ординатой
Построим график
2) Воспользуемся
формулой:
Значения функций найдены по таблице приложений.
4) Воспользуемся
формулой
.
По условию вероятность попадания в
интервал симметричный относительно
математического ожидания
.
По таблице найдемt,
при котором Ф(t)=0,475,
t=2.
значит
.
Таким образом,
.
Ответ х(-1;7).
К задачам 31-40.
Найти доверительный
интервал для оценки с надежностью 0,95
неизвестного математического ожидания
а нормально распределенного признака
Х генеральной совокупности, если
генеральное среднее квадратическое
отклонение =5,
выборочная средняя
и объем выборкиn=25.
Требуется найти
доверительный интервал
.
Все величины, кроме
t,
известны. Найдем t
из соотношения Ф(t)=0,95/2=0,475.
По таблице приложения находим t=1,96.
Подставив, окончательно получим искомый
доверительный интервал 12,04 Отдел технического
контроля проверил 200 партий одинаковых
изделий и получил следующее эмпирическое
распределение, частота n i
– количество партий, содержащих x i
нестандартных изделий.требуется при
уровне значимости 0,05 проверить гипотезу
о том, что число нестандартных изделий
Х распределено по закону Пуассона. Найдем выборочную
среднюю: Примем в качестве
оценки параметра
распределения Пуассона выборочную
среднюю =0,6.
Следовательно, предполагаемый закон
Пуассона
Положив i=0,1,2,3,4
найдем вероятности P i появления
i
нестандартных изделий в 200 партиях:
Найдем теоретические
частоты по формуле
Сравним эмпирические
и теоретические частоты с помощью
критерия Пирсона. Для этого составим
расчетную таблицу. Объединим малочисленные
частоты(4+2=6) и соответствующие им
теоретические частоты (3,96+0,6=4,56). Без преувеличения его можно назвать философским законом. Наблюдая за различными объектами и процессами окружающего мира, мы часто сталкиваемся с тем, что чего-то бывает мало, и что бывает норма: Какие можно привести примеры? Их просто тьма. Это, например, рост, вес людей (и не только), их физическая сила, умственные способности и т.д. Существует «основная масса» (по тому или иному признаку)
и существуют отклонения в обе стороны. Это различные характеристики неодушевленных объектов (те же размеры, вес). Это случайная продолжительность процессов, например, время забега стометровки или превращения смолы в янтарь. Из физики вспомнились молекулы воздуха: среди них есть медленные, есть быстрые, но большинство двигаются со «стандартными» скоростями. Далее отклоняемся от центра ещё на одно стандартное отклонение и рассчитываем высоту: Отмечаем точки на чертеже (зелёный цвет)
и видим, что этого вполне достаточно. На завершающем этапе аккуратно чертим график, и особо аккуратно
отражаем его выпуклость / вогнутость
! Ну и, наверное, вы давно поняли, что ось абсцисс – это горизонтальная асимптота
, и «залезать» за неё категорически нельзя! При электронном оформлении решения график легко построить в Экселе, и неожиданно для самого себя я даже записал короткий видеоролик на эту тему. Но сначала поговорим о том, как меняется форма нормальной кривой в зависимости от значений и . При увеличении или уменьшении «а» (при неизменном «сигма»)
график сохраняет свою форму и перемещается вправо / влево
соответственно. Так, например, при функция принимает вид В случае изменения «сигмы» (при постоянном «а»)
, график «остаётся на месте», но меняет форму. При увеличении он становится более низким и вытянутым, словно осьминог, растягивающий щупальца. И, наоборот, при уменьшении график становится более узким и высоким
– получается «удивлённый осьминог». Так, при уменьшении
«сигмы» в два раза: предыдущий график сужается и вытягивается вверх в два раза: Нормальное распределёние с единичным значением «сигма» называется нормированным
, а если оно ещё и центрировано
(наш случай), то такое распределение называют стандартным
. Оно имеет ещё более простую функцию плотности, которая уже встречалась в локальной теореме Лапласа
: Ну а теперь смотрим кино:
Да, совершенно верно – как-то незаслуженно у нас осталась в тени функция распределения вероятностей
. Вспоминаем её определение
: Внутри интеграла обычно используют другую букву, чтобы не возникало «накладок» с обозначениями, ибо здесь каждому значению ставится в соответствие несобственный интеграл
Почти все значения не поддаются точному расчету, но как мы только что видели, с современными вычислительными мощностями с этим нет никаких трудностей. Так, для функции =НОРМСТРАСП(z)
Раз, два – и готово: Теперь вспомним одну из ключевых задач темы, а именно выясним, как найти –вероятность того, что нормальная случайная величина примет значение из интервала
. Геометрически эта вероятность равна площади
между нормальной кривой и осью абсцисс на соответствующем участке: ! Вспоминает также
, что
Тут можно снова задействовать Эксель, но есть пара весомых «но»: во-первых, он не всегда под рукой, а во-вторых, «готовые» значения , скорее всего, вызовут вопросы у преподавателя. Почему? Об этом я неоднократно рассказывал ранее: в своё время (и ещё не очень давно) роскошью был обычный калькулятор, и в учебной литературе до сих пор сохранился «ручной» способ решения рассматриваемой задачи. Его суть состоит в том, чтобы стандартизировать
значения «альфа» и «бета», то есть свести решение к стандартному распределению: Примечание
: функцию легко получить из общего случая
Зачем это нужно? Дело в том, что значения скрупулезно подсчитаны нашими предками и сведены в специальную таблицу, которая есть во многих книгах по терверу. Но ещё чаще встречается таблица значений , с которой мы уже имели дело в интегральной теореме Лапласа
: Если же в нашем распоряжении есть таблица значений функции Лапласа Напоминаю, что Ответ
требуется дать в процентах, поэтому рассчитанную вероятность нужно умножить на 100 и снабдить результат содержательным комментарием: – с перелётом от 5 до 70 м упадёт примерно 15,87% снарядов Тренируемся самостоятельно: Пример 3
Диаметр подшипников, изготовленных на заводе, представляет собой случайную величину, распределенную нормально с математическим ожиданием 1,5 см и средним квадратическим отклонением 0,04 см. Найти вероятность того, что размер наугад взятого подшипника колеблется от 1,4 до 1,6 см. В образце решения и далее я буду использовать функцию Лапласа, как самый распространённый вариант. Кстати, обратите внимание, что согласно формулировке, здесь можно включить концы интервала в рассмотрение. Впрочем, это не критично. И уже в этом примере нам встретился особый случай – когда интервал симметричен относительно математического ожидания. В такой ситуации его можно записать в виде и, пользуясь нечётностью функции Лапласа, упростить рабочую формулу: Хорошо то решение, которое умещается в одну строчку:) Результат этой задачи получился близким к единице, но хотелось бы ещё бОльшей надежности – а именно, узнать границы, в которых находится диаметр почти всех
подшипников. Существует ли какой-нибудь критерий на этот счёт? Существует! На поставленный вопрос отвечает так называемое Его суть состоит в том, что практически достоверным
является тот факт, что нормально распределённая случайная величина примет значение из промежутка И в самом деле, вероятность отклонения от матожидания менее чем на составляет: В «пересчёте на подшипники» – это 9973 штуки с диаметром от 1,38 до 1,62 см и всего лишь 27 «некондиционных» экземпляров. В практических исследованиях правило «трёх сигм» обычно применяют в обратном направлении: если статистически
установлено, что почти все значения исследуемой случайной величины
укладываются в интервал длиной 6 стандартных отклонений, то появляются веские основания полагать, что эта величина распределена по нормальному закону. Проверка осуществляется с помощью теории статистических гипотез
. Продолжаем решать суровые советские задачи: Пример 4
Случайная величина ошибки взвешивания распределена по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением 3 грамма. Найти вероятность того, что очередное взвешивание будет проведено с ошибкой, не превышающей по модулю 5 грамм. Решение
очень простое. По условию, и сразу заметим, что при очередном взвешивании (чего-то или кого-то)
мы почти 100% получим результат с точностью до 9 грамм. Но в задаче фигурирует более узкое отклонение и по формуле Ответ
: Прорешанная задача принципиально отличается от вроде бы похожего Примера 3
урока о равномерном распределении
. Там была погрешность округления
результатов измерений, здесь же речь идёт о случайной погрешности самих измерений. Такие погрешности возникают в связи с техническими характеристиками самого прибора (диапазон допустимых ошибок, как правило, указывают в его паспорте)
, а также по вине экспериментатора – когда мы, например, «на глазок» снимаем показания со стрелки тех же весов. Помимо прочих, существуют ещё так называемые систематические
ошибки измерения. Это уже неслучайные
ошибки, которые возникают по причине некорректной настройки или эксплуатации прибора. Так, например, неотрегулированные напольные весы могут стабильно «прибавлять» килограмм, а продавец систематически обвешивать покупателей. Или не систематически ведь можно обсчитать. Однако, в любом случае, случайной такая ошибка не будет, и её матожидание отлично от нуля. …срочно разрабатываю курс по подготовке продавцов =) Самостоятельно решаем обратную задачу: Пример 5
Диаметр валика – случайная нормально распределенная случайная величина, среднее квадратическое отклонение ее равно мм. Найти длину интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который с вероятностью попадет длина диаметра валика. Пункт 5*
расчётного макета
в помощь. Обратите внимание, что здесь не известно математическое ожидание, но это нисколько не мешает решить поставленную задачу. И экзаменационное задание, которое я настоятельно рекомендую для закрепления материала: Пример 6
Нормально распределенная случайная величина задана своими параметрами (математическое ожидание) и (среднее квадратическое отклонение). Требуется: а) записать плотность вероятности и схематически изобразить ее график; Такие задачи предлагаются повсеместно, и за годы практики мне их довелось решить сотни и сотни штук. Обязательно попрактикуйтесь в ручном построении чертежа и использовании бумажных таблиц;) Ну а я разберу пример повышенной сложности: Пример 7
Плотность распределения вероятностей случайной величины имеет вид Решение
: прежде всего, обратим внимание, что в условии ничего не сказано о характере случайной величины. Само по себе присутствие экспоненты ещё ничего не значит: это может оказаться, например, показательное
или вообще произвольное непрерывное распределение
. И поэтому «нормальность» распределения ещё нужно обосновать: Так как функция Приводим. Для этого выделяем полный квадрат
и организуем трёхэтажную дробь
: Таким образом: Теперь найдём значение параметра . Поскольку множитель нормального распределения имеет вид и , то: Построим график плотности: На практике большинство случайных величин, на которых воздействует большое количество случайных факторов, подчиняются нормальному закону распределения вероятностей. Поэтому в различных приложениях теории вероятностей этот закон имеет особое значение. Случайная величина $X$ подчиняется нормальному закону распределения вероятностей, если ее плотность распределения вероятностей имеет следующий вид $$f\left(x\right)={{1}\over {\sigma \sqrt{2\pi }}}e^{-{{{\left(x-a\right)}^2}\over {2{\sigma }^2}}}$$ Схематически график функции $f\left(x\right)$ представлен на рисунке и имеет название «Гауссова кривая». Справа от этого графика изображена банкнота в 10 марок ФРГ, которая использовалась еще до появления евро. Если хорошо приглядеться, то на этой банкноте можно заметить гауссову кривую и ее первооткрывателя величайшего математика Карла Фридриха Гаусса. Вернемся к нашей функции плотности $f\left(x\right)$ и дадим кое-какие пояснения относительно параметров распределения $a,\ {\sigma }^2$. Параметр $a$ характеризует центр рассеивания значений случайной величины, то есть имеет смысл математического ожидания. При изменении параметра $a$ и неизмененном параметре ${\sigma }^2$ мы можем наблюдать смещение графика функции $f\left(x\right)$ вдоль оси абсцисс, при этом сам график плотности не меняет своей формы. Параметр ${\sigma }^2$ является дисперсией и характеризует форму кривой графика плотности $f\left(x\right)$. При изменении параметра ${\sigma }^2$ при неизмененном параметре $a$ мы можем наблюдать, как график плотности меняет свою форму, сжимаясь или растягиваясь, при этом не сдвигаясь вдоль оси абсцисс. Как известно, вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ можно вычислять $P\left(\alpha < X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула: $$P\left(\alpha < X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$ Здесь функция $\Phi \left(x\right)={{1}\over {\sqrt{2\pi }}}\int^x_0{e^{-t^2/2}dt}$ - функция Лапласа. Значения этой функции берутся из . Можно отметить следующие свойства функции $\Phi \left(x\right)$. 1
. $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, то есть функция $\Phi \left(x\right)$ является нечетной. 2
. $\Phi \left(x\right)$ - монотонно возрастающая функция. 3
. ${\mathop{lim}_{x\to +\infty } \Phi \left(x\right)\ }=0,5$, ${\mathop{lim}_{x\to -\infty } \Phi \left(x\right)\ }=-0,5$. Для вычисления значений функции $\Phi \left(x\right)$ можно также воспользоваться мастером функция $f_x$ пакета Excel: $\Phi \left(x\right)=НОРМРАСП\left(x;0;1;1\right)-0,5$. Например, вычислим значений функции $\Phi \left(x\right)$ при $x=2$. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины $X\in N\left(a;\ {\sigma }^2\right)$ в интервал, симметричный относительно математического ожидания $a$, может быть вычислена по формуле $$P\left(\left|X-a\right| < \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$ Правило трех сигм
. Практически достоверно, что нормально распределенная случайная величина $X$ попадет в интервал $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$. Пример 1
. Случайная величина $X$ подчинена нормальному закону распределения вероятностей с параметрами $a=2,\ \sigma =3$. Найти вероятность попадания $X$ в интервал $\left(0,5;1\right)$ и вероятность выполнения неравенства $\left|X-a\right| < 0,2$. Используя формулу $$P\left(\alpha < X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$ находим $P\left(0,5;1\right)=\Phi \left({{1-2}\over {3}}\right)-\Phi \left({{0,5-2}\over {3}}\right)=\Phi \left(-0,33\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,5\right)-\Phi \left(0,33\right)=0,191-0,129=0,062$. $$P\left(\left|X-a\right| < 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$ Пример 2
. Предположим, что в течение года цена на акции некоторой компании есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 50 условным денежным единицам, и стандартным отклонением, равным 10. Чему равна вероятность того, что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена за акцию будет: а) более 70 условных денежных единиц? б) ниже 50 за акцию? в) между 45 и 58 условными денежными единицами за акцию? Пусть случайная величина $X$ - цена на акции некоторой компании. По условию $X$ подчинена нормальному закону распределению с параметрами $a=50$ - математическое ожидание, $\sigma =10$ - стандартное отклонение. Вероятность $P\left(\alpha < X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле: $$P\left(\alpha < X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$ $$а)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left({{\infty -50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{70-50}\over {10}}\right)=0,5-\Phi \left(2\right)=0,5-0,4772=0,0228.$$ $$б)\ P\left(X < 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$ $$в)\ P\left(45 < X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$ Вероятность того, что отклонение СВ X
от её М.О. a
по абсолютной величине будет меньше заданного положительного числа , равна Если в этом равенстве положить ,то получим s w:space="720"/>"> То есть нормально распределенная СВ X
отклоняется от своего М.О. a
, как правило, менее чем на 3 .В этом и состоит так называемое правило 3 сигм
, которым часто пользуются в математической статистике. Функция одной случайной величины. Математическое ожидание функции одной СВ.(тетр)
Если каждому возможному значению случайной величины Х
соответствует одно возможное значение случайной величины Y
, то Y
называют функцией случайного аргу-мента Х
: Y = φ
(X
). Выясним, как найти закон распределения функции по известному закону распределения аргумента. 1) Пусть аргумент Х
– дискретная случайная величина, причем различным значениям Х
соот-ветствуют различные значения Y
. Тогда вероятности соответствующих значений Х
и Y
равны.
2) Если разным значениям Х
могут соответствовать одинаковые значения Y
, то вероятности значений аргумента, при которых функция принимает одно и то же значение, складываются. 3) Если Х
– непрерывная случайная величина, Y = φ
(X
), φ
(x
) – монотонная и дифференцируемая функция, а ψ
(у
) – функция, обратная к φ
(х
). Математическое ожидание функции одного случайного аргумента.
Пусть Y = φ
(X
) – функция случайного аргумента Х
, и требуется найти ее математическое ожидание, зная закон распределения Х
. 1) Если Х
– дискретная случайная величина, то 2) Если Х
– непрерывная случайная величина, то M
(Y
) можно искать по-разному. Если известна плотность распределения g
(y
), то 21. Функция двух случайных аргументов. Распределение функции Z=Х+У для дискретных независимых СВ Х и У.(тетр)
Если каждой паре возможных значений случайных величии X и У соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов X и Y и пишут Z=φ(X,Y). Если X и Y-дискретные независимые случайные величины, то, для того чтобы найти распределение функции Z=X+Y, надо найти все возможные значения Z, для чего достаточно сложить каждое возможное значение X со всеми возможными значениями Y; вероятности найденных возможных значений Z равны произведениям вероятностей складываемых значений X и Y. Если X н Y-непрерывные независимые случайные величины, то плотность распределения g(z) суммы Z = X+Y (при условии, что плотность распределения хотя бы одного из аргументов задана в интервале (- оо, оо) одной формулой) может быть найдена по формуле , либо по равносильной формуле , где f1 и f2-плотности распределения аргументов; если возможные значения аргументов неотрицательны, то плотность распределения g(z) величины Z=X + Y находят по формуле , либо по равносильной формуле . В том случае, когда обе плотности f1(x) и f2(y) заданы на конечных интервалах, для отыскания плотности g(z) величины Z = X+Y целесообразно сначала найти функцию распределения G(z), а затем продифференцировать ее по z: g(z)=G’(z). Если X и Y-независимые случайные величины, заданные соответствующими плотностями распределения f1(x) и f2(y), то вероятность попадания случайной точки (X, Y) в область D равна двойному интегралу по этой области от произведения плотностей распределения: Р [(Х, У)сD] = Р 0,3 0,7 Р 0,6 0,4 Найти распределение случайной величины Z = X + K. Решение. Для того чтобы составить распределение величины Z=X+Y, надо найти все возможные значения Z и их вероятности. Возможные значения Z есть суммы каждого возможного значения X со всеми возможными значениями Y: Z 1 = 1+2=3; z 2 = 1+4 = 5; z 3 =3+2 = 5; z4 = 3+4 = 7. Найдем вероятности этих возможных значений. Для того чтобы Z=3, достаточно, чтобы величина X приняла значение x1= l и величина К-значение y1=2. Вероятности этих возможных значений, как следует из данных законов распределения, соответственно равны 0,3 и 0,6. Так как аргументы X и Y независимы, то события Х =1 и Y=2 независимы н, следовательно, вероятность их совместного наступления (т. е. вероятность события Z = 3) по теореме умножения раина 0,3*0,6=0,18. Аналогично найдем: Я B=!-f4 = 5) = 0,3 0,4 = 0,12; P(Z = 34-2 = 5) =0,7 0.6 = 0,42; P(Z = 3-Й = 7) =0,7-0,4 = 0.28. Напишем искомое распределение, сложив предварительно вероятности несовместных событий Z = z 2 = 5, Z=z 3 = 5 (0,12+0,42=0,54): Z 3 5 7 ; Р 0,18 0,54 0,28 . Контроль: 0,18 + 0,54+0,28 = 1.К задачам 41-50.
имеет вид
.
,
,
,
,
.
.
Подставив в эту формулу значения
вероятности, получим
,
,
,
,
.
Нормальный закон распределения вероятностей
Перед вами принципиальный вид функции плотности
нормального распределения вероятностей, и я приветствую вас на этом интереснейшем уроке.
и наш график «переезжает» на 3 единицы влево – ровнехонько в начало координат:
Нормально распределённая величина с нулевым математическим ожиданием получила вполне естественное название – центрированная
; её функция плотности 
– чётная
, и график симметричен относительно оси ординат.
Всё в полном соответствии с геометрическими преобразованиями графиков
.
. Стандартное распределение нашло широкое применение на практике, и очень скоро мы окончательно поймём его предназначение.
– вероятность того, что случайная величина примет значение, МЕНЬШЕЕ, чем переменная , которая «пробегает» все действительные значения до «плюс» бесконечности.
, который равен некоторому числу
из интервала .
стандартного распределения соответствующая экселевская функция вообще содержит один аргумент:
На чертеже хорошо видно выполнение всех свойств функции распределения
, и из технических нюансов здесь следует обратить внимание на горизонтальные асимптоты
и точку перегиба .
но каждый раз вымучивать приближенное значение 
неразумно, и поэтому здесь рациональнее использовать «лёгкую» формулу
:
.
с помощью линейной замены
. Тогда и:
и из проведённой замены как раз следует формула 
перехода от значений произвольного распределения – к соответствующим значениям стандартного распределения.
, то решаем через неё:
Дробные значения традиционно округляем до 4 знаков после запятой, как это сделано в типовой таблице. И для контроля есть Пункт 5
макета
.
, и во избежание путаницы всегда контролируйте
, таблица КАКОЙ функции перед вашими глазами.
Параметр «дельта» называют отклонением
от математического ожидания, и двойное неравенство можно «упаковывать» с помощью модуля
:
– вероятность того, что значение случайной величины отклонится от математического ожидания менее чем на .
– вероятность того, что диаметр наугад взятого подшипника отличается от 1,5 см не более чем на 0,1 см.правило «трех сигм»
.
или 99,73%
:
– вероятность того, что очередное взвешивание будет проведено с ошибкой, не превышающей 5 грамм.
б) найти вероятность того, что примет значение из интервала 
;
в) найти вероятность того, что отклонится по модулю от не более чем на ;
г) применяя правило «трех сигм», найти значения случайной величины .
. Найти , математическое ожидание , дисперсию , функцию распределения , построить графики плотности и функции распределения, найти .
определена при любом
действительном значении , и её можно привести к виду 
, то случайная величина распределена по нормальному закону.
Обязательно выполняем проверку, возвращая показатель в исходный вид:
, что мы и хотели увидеть.
– по правилу действий со степенями
«отщипываем» . И здесь можно сразу записать очевидные числовые характеристики:
, откуда выражаем и подставляем в нашу функцию:
, после чего ещё раз пробежимся по записи глазами и убедимся, что полученная функция имеет вид 
.
и график функции распределения 
:
Если под рукой нет Экселя и даже обычного калькулятора, то последний график легко строится вручную! В точке функция распределения принимает значение 
и здесь находится
Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал
,
. Дискретные независимые случайные величины X и Y заданы распределениями:
