Напряженность определение

Принцип суперпозиции

(примеры решения задач)

Закон Кулона. Электростатическое поле системы точечных зарядов

Пример 1.1

В однородном электрическом поле напряженностью закреплен точечный отрицательный заряд. В точкеA , положение которой определяется расстояниеми углом(см. рис.), модуль вектора напряженности результирующего электрического поля

. Определите угол.

Решени e .

Напряженность результирующего поля согласно принципу суперпозиции равна

,

где

напряженность поля, создаваемого точечным зарядомq в точкеА (рис.)

По теореме косинусов

Учитывая, что по условию задачи

, получим для искомого угла:

.

Пример 1.2

Два одинаковых небольших металлических шарика с зарядами и, находящихся на расстоянии l = 0,2 м друг от друга притягиваются с силой

H. После того как шарики привели в соприкосновение и опять развели на то же расстояниеl , они стали отталкиваться с силой

Н. Найдитеи.

Решение.

Так как в начале шарики притягивались, то их заряды противоположны по знаку и по закону Кулона

(1)

После того, как шарики были приведены в соприкосновение, заряды перераспределяются, и на каждом из шариков заряд, согласно закону сохранения заряда, становится равным

Поэтому они стали взаимодействовать с силой

(2)

Уравнения (1) и (2), дают систему уравнений для неизвестных и

решив которую, находим искомые заряды

Кл,

Заметим, что в соответствии с симметрией задачи возможны и такие значения зарядов:

Кл,

Кл.

Пример 1.3

В вершинах квадрата, со стороной а, помещены четыре зарядаq (см. рис.).

Найдите напряженность электрического поля на перпендикуляре, восстановленном из центра квадрата, как функцию его длины x .

Решение.

Из принципа суперпозиции полей, результирующее поле, создаваемое зарядами, равно:

= , где

.

Задача сводится к суммированию четырех равных по величине, но разных по направлению векторов . Найдем векторную сумму полей положительного и отрицательного зарядов 1 и 3. Из подобия треугольников на рисунке получим:

, т.е.

.

Аналогично, складывая поля 2-го и 4-го зарядов найдем

. Для сложения векторови

учтем их равенство по величине и взаимную перпендикулярность. По теореме Пифагора, получим

Пример 1.4

На рисунке изображена одна из линий напряженности электрического поля двух неподвижных точечных зарядов и. Известно, что

нКл. Определите.

Решение.

Введем систему координат, выбрав ее, как показано на рисунке, т.е. ось x проходит через заряды, а осьy проходит через «вершину» линии поля. Так как вектор поля направлен по касательной к линии поля, то в точке «вершины»Е y = 0. По принципу суперпозиции для поля в этой точке имеем:

, где

,

.

После подстановки и преобразований, найдем, взяв значения геометрических параметров из рисунка в условии задачи a 1 =2, a 2 = 8, b = 4 :

нКл.

Электростатическое поле заряженных тел (непрерывное распределение зарядов)

Пример 1.5

На единицу длины тонкого однородно заряженного стержня АВ, имеющего форму дуги окружностирадиуса R с центром в точке О , приходится заряд . Найдите модуль напряженности электрического поля в точкеО , если угол АОВ равен .

Решение.

Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпадало с точкой О , а осьу была симметрично расположена относительно концов дугиАВ (рис.).

Разобьем стержень на элементарные участки длины dl с зарядом

, который можно рассматривать как точечный.

Найдем напряженность поля, создаваемого зарядом этого элементарного участка стержня в точке 0:

,

где - радиус вектор, направленный от элементаdl к точке, напряженность которой вычисляется. Напряженность результирующего поля найдем, воспользовавшись принципом суперпозиции. В силу симметрии результирующее поле будет направлено вдоль осиу (рис.). Запишем выражение для проекции

:

.

Приведем правую часть последнего уравнения к одной переменной интегрирования – углу (учитывая, что

)

.

Проинтегрировав левую часть полученного уравнения от доE , а правую от

до

, найдем модуль напряженности электрического поля, создаваемого в точкеО дугойАВ :

.

Рассмотрим специальные случаи использования формулы для расчета поля, создаваемого частью дуги окружности в ее центре

:

а) Модуль напряженности электрического поля, создаваемого 1/4 части дуги окружности радиуса R в ее центре:

.

б) Модуль напряженности электрического поля, создаваемого тонким полукольцом радиуса R в его центре:

.

в) Модуль напряженности электрического поля, создаваемого тонким кольцом радиуса R в его центре:

.

г) Модуль напряженности электрического поля в центре тонкого кольца радиуса R , если половины этого кольца заряжены разноименными зарядами с линейными плотностями зарядаи

.

Напряженность электрического поля, создаваемого каждой из половинок равна:

,

.

С

огласно принципу суперпозиции найдем результирующее поле в центре

.

Из рисунка видно, что направления векторов исовпадают, поэтому результирующее поле в центре такого кольца равно

.

Для того чтобы электрические поля можно было сравнивать друг с другом и изучать их свойства, надо ввести количественную характеристику электрического поля. Электрическое поле обнаруживается по силам, действующим на электрический заряд. Поэтому надо ввести такую характеристику поля, знание которой позволит определить силу, действующую на любой заряд в любой точке поля.

Если поочередно помещать в одну и ту же точку электрического поля небольшие (пробные) заряженные тела, то обнаружится, что сила, действующая на электрический заряд со стороны поля, прямо пропорциональна величине этого заряда. То есть отношение силы, действующей на заряд, к величине этого заряда является постоянной величиной для рассматриваемой точки поля, а, следовательно, это отношение является характеристикой самого поля и называется напряженностью электрического поля. Напряженность поля имеет определенное значение в каждой точке пространства. Это означает, что напряженность поля зависит от координат, а в случае переменных полей – еще и от времени.

Внесение пробного заряда в точку поля не должно сопровождаться изменением напряженности электрического поля в ней, иначе результат измерения будет сильно искажен. Возникает вопрос о величине пробного заряда. Если предположить, что все заряды, суммарная напряженность поля которых вычисляется, закреплены неподвижно в точках пространства, то пробный заряд может быть любым. Если же положения зарядов не фиксированы в пространстве, то пробный заряд своим действием на эти заряды может сместить их в другие точки пространства. В этом случае будет найдена не та напряженность, которая была в точке нахождения пробного заряда при первоначальном положении всех зарядов, а другая напряженность, возникшая в результате перемещения зарядов в новое положение под влиянием пробного заряда. Во избежание этого надо уменьшить влияние пробного заряда на заряды, создающие исследуемое поле. Поэтому пробный заряд должен быть достаточно малым.

Напряженность является силовой характеристикой электрического поля. Напряженность – это векторная величина, равная в каждой точке отношению силы , действующей на пробный заряд , помещенный в эту точку поля, к величине этого заряда:

Направление вектора напряженности совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд, и противоположно направлению силы, действующей на отрицательный заряд.

Формула для напряженности поля точечного заряда позволяет установить единицу напряженности. В системе единиц СИ за единицу напряженности принимается напряженность поля, при которой на заряд в один Кулон действует сила в один Ньютон, следовательно, единица напряженности в системе единиц СИ имеет размерность .

В общем случае напряженность поля зависит от координат точки поля. Электрическое поле называется однородным, если вектор его напряженности одинаков во всех точках поля, в противном случае поле будет неоднородным. Электрическое поле, напряженность которого не изменяется с течением времени, называется стационарным (постоянным). Например, стационарными являются электростатические поля – поля, создаваемые неподвижными зарядами.

Зная напряженность поля, можно найти силу, действующую на любой заряд q , помещенный в данную точку поля. Из (1.3) следует, что эта сила будет равна

Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом, можно найти с помощью закона Кулона. Пусть у нас есть два точечных заряда – и . Обозначим через силу, действующую со стороны заряда на заряд ; через – силу, действующую со стороны заряда на заряд ; и – векторы, проведенные из точки нахождения второго заряда в точку нахождения первого заряда, и наоборот. В соответствии с (1.2) запишем закон Кулона в виде:

Эти формулы определяют силы, действующие на второй и первый заряд в точках их нахождения, то есть описывают силы в различных пространственных точках. Механизм возникновения этих сил одинаков. Заряды и создают в окружающем их пространстве электрическое поле, которое характеризуется напряженностью. Исходя из (1.3), напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом в точке пространства, в которой находится заряд , можно записать следующим образом:

а силу, с которой поле с напряженностью действует на заряд , находящийся в этом поле, будет равна

Аналогично

Таким образом, действие одного точечного заряда на другой разделено на два этапа:

1. Точечный заряд создает в окружающем его пространстве электрическое поле, напряженность которого

где – радиус-вектор, проведенный из точки нахождения заряда в точку, в которой определяется напряженность.

2. Точечный заряд , находящийся в точке поля с напряженностью , подвергается со стороны этого поля действию силы

При этом напряженность поля , заряд и сила определяются в одной и той же точке пространства.

Очень наглядно электрическое поле можно описать с помощью линий напряженности (или силовых линий). Силовые линии проводят так, чтобы касательные к ним в каждой точке совпадали с направлением вектора напряженности . Густота линий выбирается таким образом, чтобы количество линий, пронизывающих единицу поверхности, перпендикулярной к линиям площадки, было бы равно модулю вектора напряженности. Тогда по картине линий напряженности можно судить о направлении и величине вектора в разных точках пространства.

Наши органы чувств лишены ощущений электрического поля. Тем не менее, распределение поля в пространстве можно сделать видимым. Для этого достаточно продолговатые кусочки диэлектрика (вещества, не проводящего электрический ток), например, хинина, хорошо перемешать в такой вязкой жидкости, как касторка. Тогда вблизи заряженных тел кристаллики хинина выстроятся в цепочки, образуя линии более или менее причудливой формы. Линии напряженности поля точечного заряда представляют собой совокупность радиальных прямых, направленных от заряда, если он положительный, и к заряду, если он отрицательный (рис. 1.8); силовые линии двух зарядов противоположного знака идут от одного заряда к другому и как бы стягивают их (рис. 1.9), а силовые линии двух одноименно заряженных тел как бы отталкиваются друг от друга (рис. 1.10); силовые линии двух пластин, заряды которых равны по модулю и противоположны по знаку, параллельны друг другу в пространстве между пластинами, вдали от краев пластин (рис. 1.11), то есть поле между ними однородно.

Рис. 1.8	Рис. 1.9
Рис. 1.10	Рис. 1.11

Силовые линии электростатического поля не замкнуты; они начинаются на положительных зарядах или на бесконечности и оканчиваются на отрицательных зарядах или на бесконечности. Если в какой-либо точке пространства нет электрических зарядов, то через эту точку проходит только одна силовая линия. Таким образом, силовые линии непрерывны и не пересекаются, так как их пересечение означало бы отсутствие определенного направления напряженности электрического поля в данной точке.

Не следует думать, что линии напряженности – это существующие в действительности образования вроде растянутых упругих нитей или шнуров, как предполагал сам Фарадей. Линии напряженности лишь помогают представить распределение вектора напряженности электрического поля в пространстве и не более реальны, чем меридианы и параллели на земном шаре.

Построить точную картину силовых линий в случае заряженных тел сложной формы – трудная задача. Нужно сначала вычислить напряженность поля как функцию координат, а затем построить систему непрерывных линий так, чтобы в каждой точке любой линии касательная к ней совпадала с направлением напряженности . Такую задачу проще всего поручить ЭВМ, работающей по специальной программе или получить картину силовых линий на опыте.

Принцип суперпозиции полей. На электрические заряды действуют силы со стороны поля. Если при наложении в пространстве полей от нескольких зарядов эти поля не оказывают никакого влияния друг на друга, то результирующая сила со стороны всех полей должна быть равна геометрической сумме сил со стороны каждого поля. Это означает, что напряженности полей складываются геометрически, так как напряженности прямо пропорциональны силам. В этом состоит принцип суперпозиции полей.

Взаимодействие между покоящимися зарядами осуществляется через электрическое поле. Всякий заряд изменяет свойства окружающего его пространства – создает в нем электрическое поле. Это поле проявляет себя в том, что помещенный в какую-либо его точку заряд оказывается под действием силы. Следовательно, для обнаружения и исследования электрического поля нужно воспользоваться некоторым пробным зарядом q . Согласно закону Кулона на пробный заряд действует сила

Отношение для всех пробных зарядов будет одним и тем же и зависит лишь от величин q и r , определяющих поле в данной точке. Поэтому естественно принять это отношение в качестве величины, характеризующей электрическое поле:

Эту векторную величину называют напряженностью электрического поля в данной точке. Напряженность электрического поля численно равна силе, действующей на единичный точечный заряд, находящийся в данной точке поля. Направление вектора совпадает с направление силы, действующей на положительный заряд.

Напряженность поля точечного заряда пропорциональна величине заряда q и обратно пропорциональна квадрату расстояния r от заряда до данной точки поля

(6)

Направлен вектор вдоль прямой, проходящей через заряд и данную точку поля, от заряда, если он положителен, и к заряду, если он отрицателен. За единицу напряженности электрического поля принимается напряженность в такой точке, в которой на заряд, равный единице (1 Кл в СИ), действует сила, равная единице (1 Н в СИ)

.

Согласно приведенной формуле, сила, действующая на пробный заряд

Очевидно, что на всякий точечный заряд q в точке поля с напряженностью будет действовать сила

Если заряд положителен, направление силы совпадает с направлением вектора . В случае отрицательного q направление векторов и? противоположны.

Было указано ранее, что сила, с которой система зарядов действует на некоторый, не входящий в систему заряд равна векторной сумме сил, с которыми действует на данный заряд каждый из зарядов системы в отдельности (4). Отсюда вытекает, что напряженность поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавал бы каждый из зарядов системы в отдельности:

(8)

Это принцип суперпозиции (наложения электрических полей). Принцип суперпозиции позволяет вычислить напряженность поля любой системы зарядов.

Линии напряженности. Поток вектора напряженности. Электрическое поле можно описать определив для каждой точки величину и направление вектора . Совокупность этих векторов образует поле вектора напряженности электрического поля. Электрическое поле можно описать с помощью линий напряженности , которые также будем называть силовыми линиями. Линии напряженности проводятся таким образом, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала с направлением вектора (рис.1). Густота линий выбирается так, чтобы количество линий, пронизывающих единицу поверхности площадки, перпендикулярной к линиям, было равно численному значению вектора . Тогда по картине линий напряженности можно судить о направлении и величине вектора в разных точках пространства.

Линии точечного заряда представляют собой совокупность радиальных прямых, от заряда, если он положителен, и к заряду если он отрицателен (рис.2). Линии одним концом опираются на заряд, другим уходят в бесконечность. Полное число линий N , пересекающих сферическую поверхность произвольного радиуса r ,будет равно произведению густоты линий на поверхность сферы . Густота линий по условию численно равна: .

Следовательно, N равно

Число линий на любом расстоянии от заряда будет одно и то же. Отсюда вытекает, что силовые линии нигде, кроме заряда, не начинаются и не заканчиваются. Линии начавшись на положительном заряде, уходят в бесконечность, либо, приходя из бесконечности, заканчиваются на отрицательном заряде. Это свойство линий является общим для всех электрических полей.