Магнитное поле формулы. Работа по перемещению проводника

Воздействие магнитного поля на проводники с током используется, например, в электромоторах для превращения электрической энергии в механическую. Рассчитаем работу, которая совершается при перемещении проводника с током в магнитном поле. Для простоты допустим, что вдоль неподвижных проводников, расположенных в плоскости, перпендикулярной вектору индукции В магнитного поля, может перемещаться контактирующий с ними прямолинейный проводник длиной I (рис. III.62). Ток I через этот проводник вызывается источником, присоединенным к неподвижным проводникам. Обозначим через среднюю скорость упорядоченного движения электронов в проводниках. Допустим сначала, что рассматриваемый проводник неподвижен. На него будет действовать сила Ампера (т. е. равнодействующая всех сил Лоренца, действующих на электроны проводимости, находящиеся в данный момент в пределах объема проводника). Так как силы Лоренца и Ампера перпендикулярны направлению скорости то они работы не совершают и поэтому не могут изменить величину скорости

Допустим теперь, что проводник движется со скоростью и за некоторое время проходит расстояние х (рис. III. 62). В этом случае скорость упорядоченного движения электронов внутри проводника будет равна уже не, а векторной сумме скоростей Вследствие этого у движущегося проводника направления сил Лоренца и Ампера будут иными, чем у неподвижного. Значение этого важного обстоятельства будет обсуждаться в дальнейшем. Пока же мы допустим, что сила действующая на проводник в направлении его движения, сохраняется постоянной. Работа этой силы будет равна

где магнитный поток через площадь описанную проводником. Таким образом, работа, совершаемая амперовой силой при перемещении проводника с током в магнитном поле, равна силе тока, умноженной на поток магнитной индукции через площадь, описанную этим проводником.

Этот вывод сохраняется и в общем случае, когда проводник имеет сложную форму. Допустим, что его отдельные элементарные части ориентированы под различными углами (а) к направлению вектора индукции возможно также, что для них углы между направлением перемещения и направлением силы Ампера а будут отличны от прямого. В этом случае работа, совершаемая при перемещении элементарной части проводника, будет равна

где площадь, описанная рассматриваемым элементом тока, магнитный поток через эту площадь. Суммируя эти элементарные работы, получим для всего проводника независимо от его формы и характера движения формулу

Формула (3.31) может применяться также и для вычисления работы, которая совершается в магнитном поле при перемещениях замкнутых контуров. Можно показать, что для замкнутых контуров означает изменение магнитного потока через площадь, охваченную этим контуром. При этом поле может быть неоднородным, поворот - неравномерным. Если плоский контур поворачивается в магнитном поле так, что угол а между направлениями вектора В и нормали к плоскости контура изменяется от до то

где наибольшее значение магнитного потока, когда плоскость контура перпендикулярна полю. Если контур представляет собой катушку (рамку) с одинаковыми витками, то

Покажем теперь, что работа перемещения совершается не магнитным полем, а электрическим током, проходящим через проводник. На рис. 111.63 показаны: скорость упорядоченного движения электронов в проводнике, зависящая от величины тока скорость движения самого проводника в магнитном поле, векторная сумма этих скоростей. Силы Лоренца (а следовательно, и их равнодействующая - сила Ампера) будут перпендикулярны вектору результирующей скорости и поэтому направлены под углом а к проводнику. Разложим каждую из сил Лоренца на составляющие (рис. 111.63). При движении электронов внутри проводника сила Лоренца, перпендикулярная их скорости работы не совершает, но составляющие и совершают равные и противоположные по знаку работы; за время

Очевидно, что такой же результат мы получим и для амперовой силы, действующей на прямолинейный элемент тока Заметим, что составляющая амперовой силы хотя и приложена к электронам проводимости, передается ионному каркасу проводника и поэтому может рассматриваться как механическая сила, приложенная ко

всему проводнику. По величине сила равна т. е. равна той амперовой силе, с которой магнитное поле действовало бы на неподвижный проводник. Таким образом, при движении проводника с током в магнитном поле работа силы направленной вдоль скорости проводника должна компенсироваться равной и противоположной по знаку работой силы направленной против скорости Это означает, что работа сил совершается не за счет магнитного поля, а за счет энергии упорядоченного движения электронов проводимости.

Рассмотрим частный случай, когда проводник движется в магнитном поле с постоянной скоростью и ток в нем поддерживается постоянным. Это возможно, во-первых, если к проводнику будет приложена внешняя сила равная и направленная в противоположную сторону, и, во-вторых, если источник тока будет поддерживать постоянной скорость упорядоченного движения электронов Благодаря первому условию сумма сил равна нулю и поэтому скорость будет постоянной. Второе условие означает, что источник тока должен затрачивать энергию, в точности равную работе сил тормозящих движение электррнов проводимости. Согласно закону сохранения энергии, для любого промежутка времени должно соблюдаться соотношение (верное как для каждого отдельного электрона проводимости, так и, следовательно, для всех электронов проводимости, содержащихся в каком-нибудь объеме проводника с током)

Рассмотрим контур с током, образованный неподвижными проводами и скользящей по ним подвижной перемычкой длины (рис. 48.1). Допустим, что этот контур находится во внешнем магнитном поле, которое мы будем предполагать однородным и перпендикулярным к плоскости контура. При указанных на рис. 48.1, а направлениях тока и поля сила F, действующая на перемычку, будет направлена вправо и равна

Прперемещении перемычки вправо на эта сила совершит положительную работу

где - заштрихованная площадь (см. рис. 48.1, а).

Выясним, как изменяется при перемещении перемычки поток магнитнои индукции Ф через площадь контура. Условимся при вычислении потока через площадь контура с током всегда брать в качестве в выражении

положительную нормаль, т. е. нормаль, образующую с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см. § 46). Тогда в случае, изображенном на рис. а, поток будет положительным и равным (S - площадь контура). При перемещении перемычки вправо площадь контура получает положительное приращение

В результате поток также получает положительное приращение Поэтому выражение (48.1) можно представить в виде

При направлении поля на нас (рис. 48.1, б) сила, действующая на перемычку, направлена влево.

Поэтому при перемещении перемычки вправо на магнитная сила совершает отрицательную работу

В этом случае поток через контур равен . При увеличении площади контура на dS поток получает приращение Следовательно, выражение (48.3) также можно записать в виде (48.2).

Величину в выражении (48.2) можно трактовать как поток через площадь, описанную перемычкой при ее движении.

Соответственно можно сказать, что работа, совершаемая магнитной силой над участком контура с током, равна произведению силы тока на величину магнитного потока через поверхность, описанную этим участком при своем движении.

Формулы (48.1) и (48.3) можно объединить в одно векторное выражение. Для этого сопоставим перемычке вектор I, имеющий направление тока (рис. 48.2). Независимо от направления вектора В (от нас или на нас), силу, действующую на перемычку, можно представить в виде

При перемещении перемычки на сила совершает работу

Осуществим в смешанном произведении векторов циклическую перестановку сомножителей (см. формулу (2.34) 1-го тома). В результате получим

Из рис. 48.2 видно, что векторное произведение равно по величине площади описанной перемычкой при ее движении, и имеет направление положительной нормали . Следовательно,

В случае, изображенном на рис. 48.2, а, и мы приходим к формуле (48.1). В случае, изображенном на рис. 48.2, б, , и мы приходим к формуле (48.3).

Выражение определяет приращение магнитного потока через контур, обусловленное перемещением перемычки. Таким образом, формулу (48.5) можно записать в виде (48.2). Однако формула (48.5) имеет преимущество перед (48.2), поскольку из нее «автоматически» получается знак а следовательно, и знак .

Рассмотрим жесткий или деформируемый контур, который, находясь в магнитном поле, перемещается из некоторого исходного положения в бесконечно мало отличающееся от исходного конечное положение. Силу тока в контуре будем считать при этом перемещении постоянной. Пусть элемент контура претерпевает произвольное перемещение, которое можно представить как смещение параллельно самому себе на отрезок и последующий поворот на угол (рис. 48.3). При этом элемент опишет площадь, равную

Второе слагаемое более высокого порядка малости, чем первое. Совершаемая над работа пропорциональна магнитному потоку через описанную поверхность (см. выше). Поэтому работа при повороте элемента будет более высокого порядка малости, чем работа при поступательном перемещении, и ею можно пренебречь.

Таким образом, при вычислении работы можно пренебречь поворотом элемента на угол и считать совершаемую магнитной силой над элементом контура работу равной

Здесь В - магнитная индукция в том месте, где находится элемент контура

Осуществив в (48.6) циклическую перестановку сомножителей, получим

Векторное произведение равно по модулю площади параллелограмма, построенного на векторах т. е. площади описываемой элементом при его перемещении. Направление векторного произведения совпадает с направлением положительной нормали к площадке Следовательно,

где приращение магнитного потока через контур, обусловленное перемещением элемента контура

Приняв во внимание равенство (48.8), напишем (48.7) в виде

Просуммировав выражение (48.9) по всем элементам контура, получим выражение для работы магнитных сил при произвольном бесконечно малом перемещении контура:

( - полное приращение потока через контур).

Чтобы найти работу, совершаемую при конечном произвольном перемещении контура, просуммируем выражение (48.10) по всем элементарным перемещениям:

Здесь - значения магнитного потока через контур в начальном и конечном положениях. Таким образом, работа, совершаемая магнитными силами над контуром, равна произведению силы тока на приращение магнитного потока через контур.

Следовательно, источник, кроме работы, затрачиваемой на выделение ленц-джоулева тепла, должен совершать дополнительную работу против э. д. с. индукции, определяемую выражением

которое совпадает с (48.11).

На проводник с током в МП действуют силы, определяемые законом Ампера. Если проводник не закреплен (например, одна из сторон контура изготовлена в виде подвижной перемычки), то под действием он будет в МП перемещаться. Следовательно, МП совершает работу по перемещению проводника с током.

1. Для определения этой работы рассмотрим проводник длиной l с током I (он может свободно перемещаться), помещенный в однородное м.п. перпендикулярное к плоскости контура. Направление силы определяется по правилу левой руки, а значение – по закону Ампера.

Под действием этой силы проводник переместится параллельно самому себе на отрезок dx из положения 1 в положение 2. Работа, совершаемая МП равна:

Таким образом, работа по перемещению проводника с током в МП, равна произведению силы тока на магнитный поток, пересеченный движущимся проводником:

Полученная формула справедлива и для произвольного направления вектора .

2. Вычислим работу по перемещению замкнутого контура с постоянным током в м.п. (произвольное движение). Предположим, что контур М перемещается в плоскости чертежа и в результате бесконечно малого перемещения займет положение . Направление тока в контуре – по часовой стрелке и м.п. перпендикулярно плоскости чертежа.

Силы приложенные к участку CDA контура образуют с направлением перемещения острые углы, поэтому совершаемая ими работа dA 2 >0. Эта работа, согласно формулам равна:

где d Ф 0 – поток, который пересекает проводник CDA при движении; d Ф 2 – поток, пронизывающий контур в его конечном положении.

Силы, действующие на участок АВС контура, образуют с направлением перемещения тупые углы, следовательно dA 1 <0. Проводник АВС пересекает при своем движении поток d Ф 0 сквозь поверхность и d Ф 1 – поток, пронизывающий контур в начальном положении.

Следовательно:

Подставляя выражения для dA 1 и dA 2 в формулу (37.5), получим выражение для элементарной работы.

И контура с током в магнитном поле

На проводник с током в магнитном поле действуют силы, определяемые законом Ампера (см. § 111). Если проводник не закреплен (например, одна из сторон контура изготовлена в виде подвижной перемычки, рис. 177), то под действием силы Ампера он будет в магнитном поле перемещаться. Следовательно, магнитное поле совершает работу по перемещению проводника с током.

Для определения этой работы рассмотрим проводник длиной l с током I (он может свободно перемещаться), помещенный в однородное внешнее магнитное поле, перпендикулярное плоскости контура. Сила, направление которой определяется по правилу левой руки, а значение - по закону Ампера (см. (111.2)), равна

Под действием этой силы проводник переместится параллельно самому себе на от резок dx из положения 1 в положение 2. Работа, совершаемая магнитным полем, равна

так как ldx = dS- площадь, пересекаемая проводником при его перемещении в магнитном поле, BdS = dФ - поток вектора магнитной индукции, пронизывающий эту площадь. Таким образом,

(121.1)

т. е. "работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока на магнитный поток, пересеченный движущимся проводником. Полученная формула справедлива и для произвольного направления вектора В.

Вычислим работу по перемещению замкнутого контура с постоянным током I в магнитном поле. Предположим, что контур М перемещается в плоскости чертежа и в результате бесконечно малого перемещения займет положение М", изображенное на рис. 178 штриховой линией. Направление тока в контуре (по часовой стрелке) и магнитного поля (перпендикулярно плоскости чертежа - за чертеж) указано на рисунке. Контур М мысленно разобьем на два соединенных своими концами проводника: ABC и CDА.

Работа dA, совершаемая силами Ампера при рассматриваемом перемещении контура в магнитном поле, равна алгебраической сумме работ по перемещению проводников ABC (dA 1) и CDA (dA 2), т. е.

Силы, приложенные к участку CDАконтура, образуют с направлением перемещения острые углы, поэтому совершаемая ими работа dA 2 >0. Согласно (121.1), эта работа равна произведению силы тока I в контуре на пересеченный проводником CDAмагнитный поток. Проводник CDАпересекает при своем движении поток dФ 0 сквозь поверхность, выполненную в цвете, и поток dФ 2 , пронизывающий контур в его конечном положении. Следовательно,

(121.3)

Силы, действующие на участок AВСконтура, образуют с направлением перемещения тупые углы, поэтому совершаемая ими работа dA 1 < 0. Проводник AВС пересекает при своем движении поток dФ 0 сквозь поверхность, выполненную в цвете, и поток dФ 1 , пронизывающий контур в начальном положении. Следовательно,

Подставляя (121.3) и (121.4) в (121.2), получим выражение для элементарной работы:

где dФ 2 - dФ 1 = dФ"- изменение магнитного потока сквозь площадь, ограниченную контуром с током. Таким образом,

(121.5)

Проинтегрировав выражение (121.5), определим работу, совершаемую силами Ампера, при конечном произвольном перемещении контура в магнитном поле:

(121.6)

т. е. работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, сцепленного с контуром. Формула (121.6) остается справедливой для контура любой формы в произвольном магнитном поле.

Задачи

14.1. Тонкое кольцо массой 15 г и радиусом 12 см несет заряд, равномерно распределенный с линейной плотностью 10 нКл/м. Кольцо равномерно вращается с частотой 8 с -1 относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через ее центр. Определить отношение магнитного момента кругового тока, создаваемого кольцом, к его моменту импульса.

14.2. По проводу, согнутому в виде квадрата со стороной, равной 60 см, течет постоянный ток 3 А. Определить индукцию магнитного поля в центре квадрата.

14.3. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам, расстояние между которыми равно 25 см, текут токи 20 и 30 А в противоположных направлениях. Определить магнитную индукцию В вточке, удаленной на г 1 =30 см от первого и г 2 =40 см от второго проводника.

14.4. Определить магнитную индукцию на оси тонкого проволочного кольца радиусом 10 см, по которому течет ток 10 А, в точке, расположенной на расстоянии 15 см от центра кольца.

14.5. Два бесконечных прямолинейных параллельных проводника с одинаковыми токами, текущими в одном направлении, находятся друг от друга на расстоянии R. Чтобы их раздвинуть до расстояния 3R, на каждый сантиметр длины проводника затрачивается работа А= 220 нДж. Определить силу тока в проводниках.

14.6. Определить напряженность поля, создаваемого прямолинейно равномерно движущимся со скоростью 500 км/с электроном в точке, находящейся от него на расстоянии 20 нм и лежащей на перпендикуляре к скорости, проходящем через мгновенное положение электрона.

14.7. Протон, ускоренный разностью потенциалов 0,5 кВ, влетая в однородное магнитное поле с индукцией 0,1 Тл, движется по окружности. Определить радиус этой окружности.

14.8. Определить, при какой скорости пучок заряженных частиц, проходя перпендикулярно область, в которой созданы однородные поперечные электрическое и магнитное поля с E = 10 кВ/м и В = 0,2Тл, не отклоняется.

14.9. Циклотрон ускоряет протоны до энергии 10 МэВ. Определить радиус дуантов циклотрона при индукции магнитного поля 1 Тл. [>47 см]

14.10. Через сечение медной пластинки толщиной 0,1 мм пропускается ток 5 А. Пластинка помещается в однородное магнитное поле с индукцией 0,5 Тл, перпендикулярное ребру пластинки и направлению тока. Считая концентрацию электронов проводимости равной концентрации атомов, определить возникающую в пластине поперечную (холловскую) разность потенциалов. Плотность меди 8,93 г/см 3 .

14.11. По прямому бесконечно длинному проводнику течет ток 15 А. Определить, пользуясь теоремой о циркуляции вектора В, магнитную индукцию В вточке, расположенной на расстоянии 15 см от проводника.

14.12. Определить, пользуясь теоремой о циркуляции вектора В, индукцию и напряженность магнитного поля на оси тороида без сердечника, по обмотке которого, содержащей 300 витков, протекает ток 1 А. Внешний диаметр тороида равен 60 см, внутренний - 40 см.

14.13. Поток магнитной индукции сквозь площадь поперечного сечения соленоида (без сердечника) Ф = 5 мкВб. Длина соленоида l = 25 см. Определить магнитный момент р т этого соленоида.

14.14. Круглая рамка с током площадью 20 см 2 закреплена параллельно магнитному полю (5 = 0,2 Тл), и на нее действует вращающий момент 0,6 мН"м. Рамку освободили, после поворота на 90° ее угловая скорость стала 20 с -1 . Определить: 1) силу тока, текущего в рамке; 2) момент инерции рамки относительно ее диаметра.

Глава 15

Электромагнитная индукция