Зависимость работы от силы. Механическая работа: определение и формула
Для количественной характеристики процесса обмена энергиями между взаимодействующими телами в механике используют понятие «работа силы».
При прямолинейном движении тела и действии на него постоянной силы ($\overline{F}$), составляющей некоторый угол $\alpha $ с направлением перемещения тела ($\overline{s}$), работой силы ($A$) является величина равная:
Из формулы (1) следует, что при $\alpha \frac{\pi }{2}$ работа силы является положительной величиной, при этом проекция силы на направление перемещения совпадает с направлением вектора скорости движения тела. При $\alpha =\frac{\pi }{2}$ работа силы равна нулю.
При воздействии на тело сила может изменяться как по величине, так и по направлению, поэтому для общего случая выражение (1) для расчёта механической работы не применяют. Поступают следующим образом. Рассматривают бесконечно малое перемещение тела ($d\overline{s}$) на котором силу можно считать постоянной, а движение точки приложения силы прямолинейным. Тогда элементарной работой ($dA$) силы $\overline{F}$ на перемещении $d\overline{s}$ называют скалярную величину, равную:
где $\alpha $ - угол между векторами $\overline{F\ }и\ d\overline{s}$; $\left|d\overline{s}\right|$ - элементарный путь. При этом механическая работа силы на участке траектории от одной точки до другой находят как алгебраическую сумму элементарных работ на отдельных малых участках. В большинстве случаев суммирование заменяют интегрированием:
Для того чтобы вычислить интеграл (3) необходимо знать зависимость силы от пути по траектории от первой точки до второй. Если зависимость силы от пути задана графически, то механическая работа равна площади криволинейной трапеции, которая ограничена внизу осью абсцисс, вверху графиком F(s), справа и слева ординатами крайних точек.
Единицей измерения работы в Международной системе единиц (СИ) служит джоуль (Дж). Один джоуль - это работа, которую совершает сила в один ньютон на пути один метр.
\[\left=1Н\cdot 1м=1Дж.\]
Работа и кинетическая энергия тела, работа консервативных сил
Элементарная механическая работа равна бесконечно малому изменению кинетической энергии тела ($dE_k$):
Работа силы на конечном участке пути равна изменению кинетической энергии тела:
$E_{k2};;E_{k1}$ - кинетические энергии тела в конечной и начальной точках траектории. Выражение (5) выполняется при движении тел с любыми скоростями.
Работа консервативных сил равна изменению потенциальной энергии ($E_p$) системы взаимодействующих тел:
Формулы для вычисления работы некоторых сил
Работа силы упругости при растягивании пружины может быть найдена как:
где $k$ - коэффициент упругости; $\ x_2-x_1$ - удлинение пружины при изменении ее длины. При растяжении пружины работа силы упругости отрицательна.
Работа силы Кулона по перемещению заряда из точки, которая определена радиус-вектором ${\overline{r}}_1$ в точку, определяемую радиус-вектором ${\overline{r}}_2$ равна:
$r_1$;$\ r_2$ - длины радиус-векторов начальной и конечной точек траектории движения точки приложения силы, совершающей работу; $q_1,q_2$ - электрические заряды. При увеличении расстояния между зарядами силы отталкивания выполняют положительную механическую работу, силы притяжения - отрицательную. Работа силы Кулона не зависит от траектории движения тела.
Работу сил гравитации вычисляют, применяя формулу:
$m_1,m_2$ - массы взаимодействующих тел; $\gamma $ - гравитационная постоянная. Работа сил гравитации не зависит от траектории движения тел. Она определена только радиус-векторами начальной и конечной точек траектории.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Тело имеет массу, равную $m$. Его поднимают с ускорением $a$. Какова работа поднимающей силы, если тело подняли на высоту $h$?
Решение. Сделаем рисунок.
Используя второй закон Ньютона, опираясь на рис.1 найдем величину силы, которая совершает механическую работу:
В проекции на ось Y уравнение (1.1) имеет вид:
выразим F из (1.2): \
Если сила при движении тела остается постоянной, то работу найдем, используя формулу:
где по условию задачи $s=h$. Из рис.1 видно, что направление силы совпадает с направлением перемещения, поэтому окончательная формула для работы принимает вид:
Ответ. $A=m\left(a+g\right)h$
Пример 2
Задание. Некоторое тело массой $m$ поднимают вертикально вверх с поверхности Земли, действуя на него силой $\overline{F}$. Сила изменяется в зависимости от высоты по закону: $\overline{F}=-2m\overline{g}(1-Cy)$, где $C=const>0$. Считая поле силы тяжести однородным определите, какую работу выполняет сила на первой трети подъема? Начальная скорость тела равна нулю.
Решение. Найдем высоту подъема тела. Из закона изменения силы с высотой:
\[\overline{F}=-2m\overline{g}(1-Cy)(2.1)\]
очевидно, что тело будет подниматься, пока сила не станет равной нулю. Из этого условия найдем высоту подъема:
\[-2m\overline{g}\left(1-Cy\right)=0\to 2m\overline{g}\ne 0\to 1-Cy=0\to y=\frac{1}{C}.\]
Работу будем искать, используя ее определение в виде:
где $ds=dy$ так как движение происходит по оси Y; из уравнения $\overline{F}(y)$ следует, что $\overline{F}\uparrow \uparrow d\overline{s}$, формулу (2.2) представим как:
\}=\frac{5mg}{9C}.}\]
Ответ. $A=\frac{5mg}{9C}$
Пусть тело, на которое действует сила , проходит, двигаясь по некоторой траектории, путь s. При этом сила либо изменяет скорость тела, сообщая ему ускорение, либо компенсирует действие другой силы (или сил), противодействующей движению. Действие на пути s характеризуется величиной, которая называется работой.
Механической работой называется скалярная величина, равная произведению проекции силы на направление перемещения Fs и пути s, проходимого точкой приложения силы (рис. 22):
A = Fs*s. (56)
Выражение (56) справедливо в том случае, если величина проекции силы Fs на направление перемещения (т. е. на направление скорости) остается все время неизменной. В частности, это имеет место, когда тело движется прямолинейно и постоянная по величине сила образует с направлением движения постоянный угол α. Поскольку Fs = F * cos(α), выражению (47) можно придать следующий вид:
A = F * s * cos(α).
Если – вектор перемещения, то работа вычисляется как скалярное произведение двух векторов и :
. (57)
Работа - алгебраическая величина. Если сила и направление перемещения образуют острый угол (cos(α) > 0), работа положительна. Если угол α - тупой (cos(α) < 0), работа отрицательна. При α = π/2 работа равна нулю. Последнее обстоятельство особенно отчетливо показывает, что понятие работы в механике существенно отличается от обыденного представления о работе. В обыденном понимании всякое усилие, в частности и мускульное напряжение, всегда сопровождается совершением работы. Например, для того чтобы держать тяжелый груз, стоя неподвижно, а тем более для того, чтобы перенести этот груз по горизонтальному пути, носильщик затрачивает много усилий, т. е. «совершает работу». Однако это – «физиологическая» работа. Механическая работа в этих случаях равна нулю.
Работа при перемещении под действием силы
Если величина проекции силы на направление перемещения не остается постоянной во время движения, то работа выражается в виде интеграла:
. (58)
Интеграл такого вида в математике называются криволинейным интегралом вдоль траектории S. Аргументом здесь служит векторная переменная , которая может меняться как по модулю, так и по направлению. Под знаком интеграла стоит скалярное произведение вектора силы и вектора элементарного перемещения .
За единицу работы принимается работа, совершаемая силой, равной единице и действующей в направлении перемещения, на пути, равном единице. В СИ единицей работы является джоуль (Дж), который равен работе, совершаемой силой в 1 ньютон на пути в 1 метр:
1Дж = 1Н * 1м.
В СГС единицей работы является эрг, равный работе, совершаемой силой в 1 дину на пути в 1 сантиметр. 1Дж = 10 7 эрг.
Иногда применяется внесистемная единица килограммометр (кГ*м). Это работа, совершаемая силой в 1 кГ на пути в 1 метр. 1кГ*м = 9,81 Дж.
Вы знаете, что такое работа? Вне всякого сомнения. Что такое работа, знает каждый человек, при условии, что он рожден и живет на планете Земля. А что такое механическая работа?
Это понятие тоже известно большинству людей на планете, хотя некоторые отдельные личности и имеют довольно смутное представление об этом процессе. Но речь сейчас не о них. Еще меньшее число людей имеют представление, что такое механическая работа с точки зрения физики. В физике механическая работа - это не труд человека ради пропитания, это физическая величина, которая может быть совершенно никак не связана ни с человеком, ни с другим каким-нибудь живым существом. Как так? Сейчас разберемся.
Механическая работа в физике
Приведем два примера. В первом примере воды реки, столкнувшись с пропастью, шумно падают вниз в виде водопада. Второй пример - это человек, который держит на вытянутых руках тяжелый предмет, например, удерживает надломившуюся крышу над крыльцом дачного домика от падения, пока его жена и дети судорожно ищут, чем ее подпереть. В каком случае совершается механическая работа?
Определение механической работы
Практически все, не задумываясь, ответят: во втором. И будут неправы. Дело обстоит как раз наоборот. В физике механическая работа описывается следующими определениями: механическая работа совершается тогда, когда на тело действует сила, и оно движется. Механическая работа прямо пропорциональна приложенной силе и пройденному пути.
Формула механической работы
Определяется механическая работа формулой:
A=Fs,
где A - работа,
F - сила,
s - пройденный путь.
Так что, несмотря на весь героизм уставшего держателя крыши, проделанная им работа равна нулю, а вот вода, падая под действием силы тяжести с высокого утеса, совершает самую, что ни на есть, механическую работу. То есть, если мы будем толкать тяжелый шкаф безуспешно, то проделанная нами работа с точки зрения физики будет равна нулю, несмотря на то, что мы прикладываем много сил. А вот если мы сдвинем шкаф на некоторое расстояние, то тогда мы проделаем работу, равную произведению приложенной силы на расстояние, на которое мы передвинули тело.
Единица работы - 1 Дж. Это работа, совершенная силой в 1 ньютон, по передвижению тела на расстояние в 1 м. Если направление приложенной силы совпадает с направлением движения тела, то данная сила совершает положительную работу. Пример - это когда мы толкаем какое-либо тело, и оно двигается. А в случае, когда сила приложена в противоположную движению тела сторону, например, сила трения, то данная сила совершает отрицательную работу. Если же приложенная сила никак не влияет на движение тела, то сила, совершаемая этой работой, равна нулю.
9. Механическая работа и мощность
Если действующая на тело сила вызывает его перемещение, то действие силы характеризуется механической работой
Где - угол между направлением силы и перемещения. Формула справедлива для случая когда тело движется прямолинейно и действующая на него сила остается постоянной. Если сила изменяется, то.
Механическая работа является мерой изменения энергии. За единицу работы в системе Си принимают джоуль (Дж).
Средней мощностью называют величину, равную отношению работык промежутку времени, за который она совершается
Мгновенная мощность определяется по формуле . Учитывая, что, получаем, гдеv – мгновенная скорость.
За единицу мощности в системе СИ принимают ватт (Вт).
На практике часто применяют внесистемную единицу мощности – лошадиную силу.
1 л.с. = 735 Вт
10. Кинетическая и потенциальная энергия
Физическая величина, характеризующая способность тела или системы тел совершать работу, называется энергией.
Энергия может быть обусловлена движением тела с некоторой скоростью (кинетическая энергия), а также нахождением тела в потенциальном поле сил (потенциальная энергия).
Кинетическая энергия
Рассмотрим случай, когда тело массой m под действием силы F изменяет свою скорость от до. Определим работу силы, приложенной к телу
Так как механическая работа является мерой изменения энергии, то величина представляет собой энергию, обусловленную движениемтела.
Энергию, которой обладает тело вследствие своего движения называют кинетической .
Работа совершаемая силой при изменении скорости тела, равна изменению кинетической энергии тела
Потенциальная энергия тела в поле силы тяжести
При падении тела массой m с высоты до высотынад Землей сила тяжести совершает работу
Сила тяжести является консервативной силой, а поле тяготения – потенциальным. Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком
Потенциальная энергия тела в поле силы тяжести .
Энергия, которая определяется взаимным расположением тел или частей одного и того же тела называется потенциальной.
11. Закон сохранения полной механической энергии
Рассмотрим движение тела в замкнутой системе, в которой действуют только консервативные силы. Пусть, например, тело массой m свободно падает. При переходе тела из состояния 1 в состояние 2 сила тяжести совершает работу
В то же время . Следовательно,. Преобразовав данное выражение, получим.
Сумма кинетической и потенциальной энергии тела называется полной механической энергией тела.
Согласно закону сохранения полной механической энергии: полная механическая энергия замкнутой системы тел, взаимодействующих друг с другом только консервативными силами, при любых движениях этих тел не изменяется. Происходят лишь взаимные превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно.
Системы, в которых сохраняется полная механическая энергия, называются консервативными.
Системы, в которых полная механическая энергия не сохраняется называются диссипативными (диссипация – переход энергии в другой вид, например, механической во внутреннюю).
В общем случае закон сохранения энергии в природе формулируется следующим образом:
Энергия тел никогда не исчезает и не появляется вновь: она лишь превращается из одного вида в другой или переходит от одного тела к другому.
