Что входит в рациональные числа. Определение рациональных чисел

Число - важнейшее математическое понятие, меняющееся на протяжении веков.

Первые представления о числе возникли из счета людей, животных, плодов, различных изделий и пр. Результатом являются натуральные числа: 1, 2, 3, 4, ...

Исторически первым расширением понятия числа является присоединение к натуральному числу дробных чисел.

Дробью называется часть (доля) единицы или несколько равных ее частей.

Обозначаются: , где m, n - целые числа;

Дроби со знаменателем 10n , где n - целое число, называются десятичными : .

Среди десятичных дробей особое место занимают периодические дроби : - чистая периодическая дробь, - смешанная периодическая дробь.

Дальнейшее расширение понятия числа вызвано уже развитием самой математики (алгебры). Декарт в XVII в. вводит понятие отрицательного числа .

Числа целые (положительные и отрицательные), дробные (положительные и отрицательные) и нуль получили название рациональных чисел . Всякое рациональное число может быть записано в виде дроби конечной и периодической.

Для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин оказалось необходимым новое расширение понятия числа - введение действительных (вещественных) чисел - присоединением к рациональным числам иррациональных: иррациональные числа - это бесконечные десятичные непериодические дроби.

Иррациональные числа появились при измерении несоизмеримых отрезков (сторона и диагональ квадрата), в алгебре - при извлечении корней , примером трансцендентного, иррационального числа являются π, e .

Числа натуральные (1, 2, 3,...), целые (..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), рациональные (представимые в виде дроби) и иррациональные (не представимые в виде дроби) образуют множество действительных (вещественных) чисел.

Отдельно в математике выделяют комплексные числа.

Комплексные числа возникают в связи с задачей решения квадратных для случая D < 0 (здесь D – дискриминант квадратного уравнения). Долгое время эти числа не находили физического применения, поэтому их и назвали «мнимыми» числами. Однако сейчас они очень широко применяются в различных областях физики и техники: электротехнике, гидро- и аэродинамике, теории упругости и др.

Комплексные числа записываются в виде: z=a + bi . Здесь a и b – действительные числа , а i – мнимая единица, т. e . i 2 = –1. Число a называется абсциссой , a b – ординатой комплексного числа a + bi . Два комплексных числа a + bi и a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.

Свойства:

1. Действительное число а может быть также записано в форме комплексного числа: a + 0i или a – 0i . Например 5 + 0i и 5 – 0i означают одно и то же число 5 .

2. Комплексное число 0+ bi называется чисто мнимым числом . Запись bi означает то же самое, что и 0+ bi .

3. Два комплексных числа a + bi и c + di считаются равными, если a = c и b = d . В противном случае комплексные числа не равны.

Действия:

Сложение. Суммой комплексных чисел a + bi и c + di называется комплексное число (a + c ) + (b + d )i . Таким образом, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.

Вычитание. Разностью двух комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и c + di (вычитаемое) называется комплексное число (a – c ) + (b – d )i . Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.

Умножение. Произведением комплексных чисел a + bi и c + di называется комплексное число:

(ac – bd ) + (ad + bc )i . Это определение вытекает из двух требований:

1) числа a + bi и c + di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,

2) число i обладает основным свойством: i 2 = –1.

П р и м е р. (a+ bi )(a – bi )= a 2 + b 2 . Следовательно, произведение двух сопряжённых комплексных чисел равно действительному положительному числу.

Деление. Разделить комплексное число a + bi (делимое) на другое c + di (делитель) - значит найти третье число e + f i (чатное), которое будучи умноженным на делитель c + di , даёт в результате делимое a + bi . Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.

П р и м е р. Найти (8 + i ) : (2 – 3i ) .

Р е ш е н и е. Перепишем это отношение в виде дроби:

Умножив её числитель и знаменатель на 2 + 3i и выполнив все преобразования, получим:

Задание 1: Сложите, вычтите, умножьте и разделите z 1 на z 2

Извлечение корня квадратного: Реши уравнение x 2 = -a. Для решения данного уравнения мы вынуждены воспользоваться числами нового типа – мнимые числа . Таким образом, мнимым называется число, вторая степень которого является числом отрицательным . Согласно этому определению мнимых чисел мы можем определить и мнимую единицу :

Тогда для уравнения x 2 = – 25 мы получаем два мнимых корня:

Задание 2: Реши уравнение:

1) x 2 = – 36; 2) x 2 = – 49; 3) x 2 = – 121

Геометрическое представление комплексных чисел. Действительные числа изображаются точками на числовой прямой:

Здесь точка A означает число –3, точка B –число 2, и O –ноль. В отличие от этого комплексные числа изображаются точками на координатной плоскости. Выберем для этого прямоугольные (декартовы) координаты с одинаковыми масштабами на обеих осях. Тогда комплексное число a + bi будет представлено точкой Р с абсциссой а и ординатой b . Эта система координат называется комплексной плоскостью .

Модулем комплексного числа называется длина вектора OP , изображающего комплексное число на координатной (комплексной ) плоскости. Модуль комплексного числа a + bi обозначается | a + bi | или) буквой r и равен:

Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль.

Правила оформления чертежа практически такие же, как и для чертежа в декартовой системе координат По осям нужно задать размерность, отмечаем:

е
диницу по действительной оси; Re z

мнимую единицу по мнимой оси. Im z

Задание 3. Построить на комплексной плоскости следующие комплексные числа: , , , , , , ,

1. Числа точные и приближенные. Числа, с которыми мы встречаемся на практике, бывают двух родов. Одни дают истинное значение величины, другие - только приблизительное. Первые называют точными, вторые - приближенными. Чаще всего удобно пользоваться приближенным числом вместо точного, тем более, что во многих случаях точное число вообще найти невозможно.

Так, если говорят, что в классе есть 29 учеников, то число 29 - точное. Если же говорят, что расстояние от Москвы до Киева равно 960 км, то здесь число 960 - приближенное, так как, с одной стороны, наши измерительные инструменты не абсолютно точны, с другой стороны, сами города имеют некоторую протяженность.

Результат действий с приближенными числами есть тоже приближенное число. Выполняя некоторые действия над точными числами (деление, извлечение корня), можно также получить приближенные числа.

Теория приближенных вычислений позволяет:

1) зная степень точности данных, оценить степень точности результатов;

2) брать данные с надлежащей степенью точности, достаточной для обеспечения требуемой точности результата;

3) рационализировать процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точность результата.

2. Округление. Одним из источников получения приближенных чисел является округление. Округляют как приближенные, так и точные числа.

Округлением данного числа до некоторого его разряда называют замену его новым числом, которое получается из данного путем отбрасывания всех его цифр, записанных правее цифры этого разряда, или путем замены их нулями. Эти нули обычно подчеркивают или пишут их меньшими. Для обеспечения наибольшей близости округленного числа к округляемому следует пользоваться такими правилами: чтобы округлить число до единицы определенного разряда, надо отбросить все цифры, стоящие после цифры этого разряда, а в целом числе заменить их нулями. При этом учитывают следующее:

1) если первая (слева) из отбрасываемых цифр менее 5, то последнюю оставленную цифру не изменяют (округление с недостатком);

2) если первая отбрасываемая цифра больше 5 или равна 5, то последнюю оставленную цифру увеличивают на единицу (округление с избытком).

Покажем это на примерах. Округлить:

а) до десятых 12,34;

б) до сотых 3,2465; 1038,785;

в) до тысячных 3,4335.

г) до тысяч 12375; 320729.

а) 12,34 ≈ 12,3;

б) 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;

в) 3,4335 ≈ 3,434.

г) 12375 ≈ 12 000; 320729 ≈ 321000.

3. Абсолютная и относительная погрешности. Разность между точным числом и его приближенным значением называется абсолютной погрешностью приближенного числа. Например, если точное число 1,214 округлить до десятых, получим приближенное число 1,2. В данном случае абсолютная погрешность приближенного числа 1,2 равна 1,214 - 1,2, т.е. 0,014.

Но в большинстве случаев точное значение рассматриваемой величины неизвестно, а только приближенное. Тогда и абсолютная погрешность неизвестна. В этих случаях указывают границу, которую она не превышает. Это число называют граничной абсолютной погрешностью. Говорят, что точное значение числа равно его приближенному значению с погрешностью меньшей, чем граничная погрешность. Например, число 23,71 есть приближенное значение числа 23,7125 с точностью до 0,01, так как абсолютная погрешность приближения равна 0,0025 и меньше 0,01. Здесь граничная абсолютная погрешность равна 0,01 * .

Граничную абсолютную погрешность приближенного числа а обозначают символом Δa . Запись

x ≈a (±Δa )

следует понимать так: точное значение величины x находится в промежутке между числамиа – Δa иа + Δа , которые называют соответственно нижней и верхней границейх и обозначают НГx ВГх .

Например, если x ≈ 2,3 (±0,1), то 2,2<x < 2,4.

Наоборот, если 7,3< х < 7,4, тох ≈ 7,35 (±0,05). Абсолютная или граничная абсолютная погрешность не характеризует качество выполненного измерения. Одна и та же абсолютная погрешность может считаться значительной и незначительной в зависимости от числа, которым выражается измеряемая величина. Например если измеряем расстояние между двумя городами с точностью до одного километра, то такая точность вполне достаточна для этого изменения в то же время при измерении расстояния между двумя домами одной улицы такая точность будет недопустимой. Следовательно, точность приближенного значения величины зависит не только от величины абсолютной погрешности, но и от значения измеряемой величины. Поэтому мерой точности служит относительная погрешность.

Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к величине приближенного числа. Отношение граничной абсолютной погрешности к приближенному числу называют граничной относительной погрешностью; обозначают ее так: . Относительную и граничную относительную погрешности принято выражать в процентах. Например, если измерения показали, что расстояниех между двумя пунктами больше 12,3 км, но меньше 12,7 км, то за приближенное значение его принимают среднее арифметическое этих двух чисел, т.е. их полусумму, тогда граничная абсолютная погрешность равна полуразности этих чисел. В данном случаех ≈ 12,5 (±0,2). Здесь граничная абсолютная погрешность равна 0,2 км, а граничная относительная

)- это числа с положительным или отрицательным знаком (целые и дробные) и ноль. Более точное понятие рациональных чисел, звучит так:

Рациональное число — число, которое представляется обычной дробью m/n , где числитель m — целые числа, а знаменатель n — натуральные числа, к примеру 2/3 .

Бесконечные непериодические дроби НЕ входят в множество рациональных чисел.

a/b , где a ∈ Z (a принадлежит целым числам), b ∈ N (b принадлежит натуральным числам).

Использование рациональных чисел в реальной жизни.

В реальной жизни множество рациональных чисел используется для счёта частей некоторых целых делимых объектов, например , тортов или других продуктов, которые разрезаются на части перед употреблением, или для грубой оценки пространственных отношений протяжённых объектов.

Свойства рациональных чисел.

Основные свойства рациональных чисел.

1. Упорядоченность a и b есть правило, которое позволяет однозначно идентифицировать между ними 1-но и только одно из 3-х отношений: «<», «>» либо «=». Это правило - правило упорядочения и формулируют его вот так:

• 2 положительных числа a=m a /n a и b=m b /n b связаны тем же отношением, что и 2 целых числа m a ⋅ n b и m b ⋅ n a ;
• 2 отрицательных числа a и b связаны одним отношением, что и 2 положительных числа |b| и |a| ;
• когда a положительно, а b — отрицательно, то a>b .

∀ a,b ∈ Q (a∨ a>b ∨ a=b)

2. Операция сложения . Для всех рациональных чисел a и b есть правило суммирования , которое ставит им в соответствие определенное рациональное число c . При этом само число c - это сумма чисел a и b и ее обозначают как (a+b) суммирование .

Правило суммирования выглядит так:

m a /n a +m b /n b =(m a ⋅ n b +m b ⋅ n a) /(n a ⋅ n b).

∀ a,b ∈ Q ∃ !(a+b) ∈ Q

3. Операция умножения . Для всяких рациональных чисел a и b есть правило умножения , оно ставит им в соответствие определенное рациональное число c . Число c называют произведением чисел a и b и обозначают (a⋅b) , а процесс нахождения этого числа называют умножение .

Правило умножения выглядит так: m a n a ⋅ m b n b =m a ⋅ m b n a ⋅ n b .

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Транзитивность отношения порядка. Для любых трех рациональных чисел a , b и c если a меньше b и b меньше c , то a меньше c , а если a равно b и b равно c , то a равно c .

∀ a,b,c ∈ Q (a∧ b⇒ a∧ (a = b ∧ b = c ⇒ a = c)

5. Коммутативность сложения . От перемены мест рациональных слагаемых сумма не изменяется.

∀ a,b ∈ Q a+b=b+a

6. Ассоциативность сложения . Порядок сложения 3-х рациональных чисел не оказывает влияния на результат.

∀ a,b,c ∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. Наличие нуля . Есть рациональное число 0, оно сохраняет всякое другое рациональное число при складывании.

∃ 0 ∈ Q ∀ a ∈ Q a+0=a

8. Наличие противоположных чисел . У любого рационального числа есть противоположное рациональное число, при их сложении получается 0.

∀ a ∈ Q ∃ (−a) ∈ Q a+(−a)=0

9. Коммутативность умножения . От перемены мест рациональных множителей произведение не изменяется.

∀ a,b ∈ Q a ⋅ b=b ⋅ a

10. Ассоциативность умножения . Порядок перемножения 3-х рациональных чисел не имеет влияния на итог.

∀ a,b,c ∈ Q (a ⋅ b) ⋅ c=a ⋅ (b ⋅ c)

11. Наличие единицы . Есть рациональное число 1, оно сохраняет всякое другое рациональное число в процессе умножения.

∃ 1 ∈ Q ∀ a ∈ Q a ⋅ 1=a

12. Наличие обратных чисел . Всякое рациональное число, отличное от нуля имеет обратное рациональное число, умножив на которое получим 1.

∀ a ∈ Q ∃ a−1 ∈ Q a ⋅ a−1=1

13. Дистрибутивность умножения относительно сложения . Операция умножения связана со сложением при помощи распределительного закона:

∀ a,b,c ∈ Q (a+b) ⋅ c=a ⋅ c+b ⋅ c

14. Связь отношения порядка с операцией сложения . К левой и правой частям рационального неравенства прибавляют одно и то же рациональное число.

∀ a,b,c ∈ Q a⇒ a+c

15. Связь отношения порядка с операцией умножения . Левую и правую части рационального неравенства можно умножить на одинаковое неотрицательное рациональное число.

∀ a,b,c ∈ Q c>0 ∧ a⇒ a ⋅ c⋅ c

16. Аксиома Архимеда . Каким бы ни было рациональное число a , легко взять столько единиц, что их сумма будет больше a .

Рациональные числа

Четверти

1. Упорядоченность . a и b существует правило, позволяющее однозначно идентифицировать между ними одно и только одно из трёх отношений : « < », « > » или « = ». Это правило называется правилом упорядочения и формулируется следующим образом: два неотрицательных числа и связаны тем же отношением, что и два целых числа и ; два неположительных числа a и b связаны тем же отношением, что и два неотрицательных числа и ; если же вдруг a неотрицательно, а b - отрицательно, то a > b . src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   Суммирование дробей

2. Операция сложения . Для любых рациональных чисел a и b существует так называемое правило суммирования c . При этом само число c называется суммой чисел a и b и обозначается , а процесс отыскания такого числа называется суммированием . Правило суммирования имеет следующий вид: .
3. Операция умножения . Для любых рациональных чисел a и b существует так называемое правило умножения , которое ставит им в соответствие некоторое рациональное число c . При этом само число c называется произведением чисел a и b и обозначается , а процесс отыскания такого числа также называется умножением . Правило умножения имеет следующий вид: .
4. Транзитивность отношения порядка. Для любой тройки рациональных чисел a , b и c если a меньше b и b меньше c , то a меньше c , а если a равно b и b равно c , то a равно c . 6435">Коммутативность сложения. От перемены мест рациональных слагаемых сумма не меняется.
5. Ассоциативность сложения. Порядок сложения трёх рациональных чисел не влияет на результат.
6. Наличие нуля . Существует рациональное число 0, которое сохраняет любое другое рациональное число при суммировании.
7. Наличие противоположных чисел. Любое рациональное число имеет противоположное рациональное число, при суммировании с которым даёт 0.
8. Коммутативность умножения. От перемены мест рациональных множителей произведение не меняется.
9. Ассоциативность умножения. Порядок перемножения трёх рациональных чисел не влияет на результат.
10. Наличие единицы . Существует рациональное число 1, которое сохраняет любое другое рациональное число при умножении.
11. Наличие обратных чисел . Любое рациональное число имеет обратное рациональное число, при умножении на которое даёт 1.
12. Дистрибутивность умножения относительно сложения. Операция умножения согласована с операцией сложения посредством распределительного закона:
13. Связь отношения порядка с операцией сложения. К левой и правой частям рационального неравенства можно прибавлять одно и то же рациональное число. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Аксиома Архимеда . Каково бы ни было рациональное число a , можно взять столько единиц, что их сумма превзойдёт a . src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Дополнительные свойства

Все остальные свойства, присущие рациональным числам, не выделяют в основные, потому что они, вообще говоря, уже не опираются непосредственно на свойства целых чисел, а могут быть доказаны исходя из приведённых основных свойств или непосредственно по определению некоторого математического объекта. Таких дополнительных свойств очень много. Здесь имеет смысл привести лишь некоторые из них.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Счётность множества

Нумерация рациональных чисел

Чтобы оценить количество рациональных чисел, нужно найти мощность их множества. Легко доказать, что множество рациональных чисел счётно . Для этого достаточно привести алгоритм, который нумерует рациональные числа, т. е. устанавливает биекцию между множествами рациональных и натуральных чисел.

Самый простой из таких алгоритмов выглядит следующим образом. Составляется бесконечная таблица обыкновенных дробей, на каждой i -ой строке в каждом j -ом столбце которой располагается дробь . Для определённости считается, что строки и столбцы этой таблицы нумеруются с единицы. Ячейки таблицы обозначаются , где i - номер строки таблицы, в которой располагается ячейка, а j - номер столбца.

Полученная таблица обходится «змейкой» по следующему формальному алгоритму.

Эти правила просматриваются сверху вниз и следующее положение выбирается по первому совпадению.

В процессе такого обхода каждому новому рациональному числу ставится в соответствие очередное натуральное число. Т. е. дроби 1 / 1 ставится в соответствие число 1, дроби 2 / 1 - число 2, и т. д. Нужно отметить, что нумеруются только несократимые дроби. Формальным признаком несократимости является равенство единице наибольшего общего делителя числителя и знаменателя дроби.

Следуя этому алгоритму, можно занумеровать все положительные рациональные числа. Это значит, что множество положительных рациональных чисел счётно. Легко установить биекцию между множествами положительных и отрицательных рациональных чисел, просто поставив в соответствие каждому рациональному числу противоположное ему. Т. о. множество отрицательных рациональных чисел тоже счётно. Их объединение также счётно по свойству счётных множеств. Множество же рациональных чисел тоже счётно как объединение счётного множества с конечным.

Утверждение о счётности множества рациональных чисел может вызывать некоторое недоумение, т. к. на первый взгляд складывается впечатление, что оно гораздо обширнее множества натуральных чисел. На самом деле это не так и натуральных чисел хватает, чтобы занумеровать все рациональные.

Недостаточность рациональных чисел

Гипотенуза такого треугольника не выражается никаким рациональным числом

Рациональными числами вида 1 / n при больших n можно измерять сколь угодно малые величины . Этот факт создаёт обманчивое впечатление, что рациональными числами можно измерить вообще любые геометрические расстояния . Легко показать, что это не верно.

Примечания

Литература

• И.Кушнир. Справочник по математике для школьников. - Киев: АСТАРТА, 1998. - 520 с.
• П. С. Александров. Введение в теорию множеств и общую топологию. - М.: глав. ред. физ.-мат. лит. изд. «Наука», 1977
• И. Л. Хмельницкий. Введение в теорию алгебраических систем

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

В этом пункте мы дадим несколько определений рациональных чисел. Несмотря на различия в формулировках, все эти определения имеют единый смысл: рациональные числа объединяют целые числа и дробные числа, подобно тому, как целые числа объединяют натуральные числа, противоположные им числа и число нуль. Иными словами, рациональные числа обобщают целые и дробные числа.

Начнем с определения рациональных чисел , которое воспринимается наиболее естественно.

Определение.

Рациональные числа – это числа, которые можно записать в виде положительной обыкновенной дроби, отрицательной обыкновенной дроби или числа нуль.

Из озвученного определения следует, что рациональным числом является:

· Любое натуральное число n . Действительно, можно представить любоенатуральное число в виде обыкновенной дроби, например, 3=3/1 .

· Любое целое число, в частности, число нуль. В самом деле, любое целое число можно записать в виде либо положительной обыкновенной дроби, либо в виде отрицательной обыкновенной дроби, либо как нуль. Например, 26=26/1 , .

· Любая обыкновенная дробь (положительная или отрицательная). Это напрямую утверждается приведенным определением рациональных чисел.

· Любое смешанное число. Действительно, всегда можно представить смешанное число в виде неправильной обыкновенной дроби. Например, и.

· Любая конечная десятичная дробь или бесконечная периодическая дробь. Это так в силу того, что указанные десятичные дроби переводятся в обыкновенные дроби. К примеру, а 0,(3)=1/3 .

Также понятно, что любая бесконечная непериодическая десятичная дробь НЕ является рациональным числом, так как она не может быть представлена в виде обыкновенной дроби.

Теперь мы можем с легкостью привести примеры рациональных чисел . Числа 4 ,903 , 100 321 – это рациональные числа, так как они натуральные. Целые числа 58 ,−72 , 0 , −833 333 333 тоже являются примерами рациональных чисел. Обыкновенные дроби 4/9 , 99/3 , - это тоже примеры рациональных чисел. Рациональными числами являются и числа.

Из приведенных примеров видно, что существуют и положительные и отрицательные рациональные числа, а рациональное число нуль не является ни положительным, ни отрицательным.

Озвученное выше определение рациональных чисел можно сформулировать более краткой форме.

Определение.

Рациональными числами называют числа, которые можно записать в виде дроби z/n , где z – целое число, а n – натуральное число.

Докажем, что данное определение рациональных чисел равносильно предыдущему определению. Мы знаем, что можно рассматривать черту дроби как знак деления, тогда из свойств деления целых чисел и правил деления целых чисел следует справедливость следующих равенств и. Таким образом, что и является доказательством.

Приведем примеры рациональных чисел, основываясь на данном определении. Числа−5 , 0 , 3 , и являются рациональными числами, так как они могут быть записаны в виде дробей с целым числителем и натуральным знаменателем вида и соответственно.

Определение рациональных чисел можно дать и в следующей формулировке.

Определение.

Рациональные числа – это числа, которые могут быть записаны в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

Это определение также равносильно первому определению, так как всякой обыкновенной дроби соответствует конечная или периодическая десятичная дробь и обратно, а любому целому числу можно сопоставить десятичную дробь с нулями после запятой.

Например, числа 5 , 0 , −13 , представляют собой примеры рациональных чисел, так как их можно записать в виде следующих десятичных дробей 5,0 , 0,0 ,−13,0 , 0,8 и −7,(18) .

Закончим теорию этого пункта следующими утверждениями:

· целые и дробные числа (положительные и отрицательные) составляют множество рациональных чисел;

· каждое рациональное число может быть представлено в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем, а каждая такая дробь представляет собой некоторое рациональное число;

· каждое рациональное число может быть представлено в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, а каждая такая дробь представляет собой некоторое рациональное число.

К началу страницы

Сложение положительных рациональных чисел коммутативно и ассоциативно,

("а, b Î Q +) а + b= b + а;

("а, b, с Î Q +) (а + b)+ с = а + (b+ с)

Прежде чем сформулировать определение умножения положительных рациональных чисел, рассмотрим следующую задачу: известно, что длина отрезка Х выражается дробьюпри единице длины Е, а длина единичного отрезка измерена при помощи единицы Е 1 и выражается дробью. Как найти число, которым будет представлена длина отрезка X, если измерить ее при помощи единицы длины Е 1 ?

Так как Х=Е, то nХ=mЕ, а из того, что Е =Е 1 следует, что qЕ=рЕ 1 . Умножим первое полученное равенство на q, а второе – на m. Тогда (nq)Х = (mq)Е и (mq)Е= (mр)Е 1 , откуда (nq)X= (mр)Е 1. Это равенство показывает, что длина отрезка х при единице длины выражается дробью , азначит, =, т.е. умножение дробей связано с переходом от одной единицы длины к другой при изме­рении длины одного и того же отрезка.

Определение.Если положительное число а представлено дробью, а положительное рациональное число b дробью, то их произведением называется число а b , которое представляется дробью.

Умножение положительных рациональных чисел коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения и вычитания. Доказательство этих свойств основываетсяна определении умножения и сложения положительных рациональных чисел, а также на соответствующих свойствах сложения и умножения натуральных чисел.

46. Как известно вычитание - это действие, противоположное сложению.

Если a и b - положительные числа , то вычесть из числа a число b, значит найти такое число c, которое при сложении с числом b даёт число a.
a - b = с или с + b = a
Определение вычитания сохраняется для всех рациональных чисел. То есть вычитание положительных и отрицательных чисел можно заменить сложением.
Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число противоположное вычитаемому.
Или по другому можно сказать, что вычитание числа b - это тоже самое сложение, но с числом противоположным числу b.
a - b = a + (- b)
Пример.
6 - 8 = 6 + (- 8) = - 2
Пример.
0 - 2 = 0 + (- 2) = - 2
Стоит запомнить выражения ниже.
0 - a = - a
a - 0 = a
a - a = 0

Правила вычитания отрицательных чисел
Вычитание числа b - это сложение с числом противоположным числу b.
Это правило сохраняется не только при вычитании из бóльшего числа меньшего, но и позволяет из меньшего числа вычесть большее число, то есть всегда можно найти разность двух чисел.
Разность может быть положительным числом, отрицательным числом или числом ноль.
Примеры вычитания отрицательных и положительных чисел.
- 3 - (+ 4) = - 3 + (- 4) = - 7
- 6 - (- 7) = - 6 + (+ 7) = 1
5 - (- 3) = 5 + (+ 3) = 8
Удобно запомнить правило знаков, которое позволяет уменьшить количество скобок.
Знак «плюс» не изменяет знака числа, поэтому, если перед скобкой стоит плюс, то знак в скобках не меняется.
+ (+ a) = + a
+ (- a) = - a
Знак «минус» перед скобками меняет знак числа в скобках на противоположный.
- (+ a) = - a
- (- a) = + a
Из равенств видно, что если перед и внутри скобок стоят одинаковые знаки, то получаем «+», а если знаки разные, то получаем «-».
(- 6) + (+ 2) - (- 10) - (- 1) + (- 7) = - 6 + 2 + 10 + 1 - 7 = - 13 + 13 = 0
Правило знаков сохраняется и в том случае, если в скобках не одно число, а алгебраическая сумма чисел.
a - (- b + c) + (d - k + n) = a + b - c + d - k + n
Обратите внимание, если в скобках стоит несколько чисел и перед скобками стоит знак «минус», то должны меняться знаки перед всеми числами в этих скобках.
Чтобы запомнить правило знаков можно составить таблицу определения знаков числа.
Правило знаков для чисел+ (+) = + + (-) = -
- (-) = + - (+) = -
Или выучить простое правило.
Минус на минус даёт плюс,
Плюс на минус даёт минус.

Правила деления отрицательных чисел.
Чтобы найти модуль частного, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя.
Итак, чтобы разделить два числа с одинаковыми знаками, надо:

· модуль делимого разделить на модуль делителя;

· перед результатом поставить знак «+».

Примеры деления чисел с разными знаками:

Для определения знака частного можно также пользоваться следующей таблицей.
Правило знаков при делении
+ : (+) = + + : (-) = -
- : (-) = + - : (+) = -

При вычислении «длинных» выражений, в которых фигурируют только умножение и деление, пользоваться правилом знаков очень удобно. Например, для вычисления дроби
Можно обратить внимание, что в числителе 2 знака «минус», которые при умножении дадут «плюс». Также в знаменателе три знака «минус», которые при умножении дадут «минус». Поэтому в конце результат получится со знаком «минус».
Сокращение дроби (дальнейшие действия с модулями чисел) выполняется также, как и раньше:
Частное от деления нуля на число, отличное от нуля, равно нулю.
0: a = 0, a ≠ 0
Делить на ноль НЕЛЬЗЯ!
Все известные ранее правила деления на единицу действуют и на множество рациональных чисел.
а: 1 = a
а: (- 1) = - a
а: a = 1 , где а - любое рациональное число.
Зависимости между результатами умножения и деления, известные для положительных чисел, сохраняются и для всех рациональных чисел (кроме числа нуль):
если a × b = с; a = с: b; b = с: a;
если a: b = с; a = с × b; b = a: c
Данные зависимости используются для нахождения неизвестного множителя, делимого и делителя (при решении уравнений), а также для проверки результатов умножения и деления.
Пример нахождения неизвестного.
x × (- 5) = 10
x = 10: (- 5)
x = - 2

Похожая информация.