Модули положительных и отрицательных чисел. Как решать уравнения с модулем

Цели урока

Познакомить школьников с таким математическим понятием, как модуль числа;
Научить школьников навыкам нахождения модулей чисел;
Закрепить изученный материал с помощью выполнения различных заданий;

Задачи

Закрепить знания детей о модуле числа;
С помощью решения тестовых заданий проверить, как усвоили ученики изученный материал;
Продолжать прививать интерес к урокам математики;
Воспитывать у школьников логическое мышление, любознательность и усидчивость.

План урока

1. Общие понятия и определение модуля числа.
2. Геометрический смысл модуля.
3. Модуль числа его свойства.
4. Решение уравнений и неравенств, которые содержат модуль числа.
5. Историческая справка о термине «модуль числа».
6. Задание на закрепление знаний пройденной темы.
7. Домашнее задание.

Общие понятия о модуле числа

Модулем числа принято называть само число, если оно не имеет отрицательного значения, или это же число отрицательное, но с противоположным знаком.

То есть, модулем неотрицательного действительного числа a является само это число:

А, модулем отрицательного действительного числа х будет противоположное число:

В записи это будет выглядеть так:

Для более доступного понимания приведем пример. Так, например, модулем числа 3 будет 3, и также модулем числа -3, является 3.

Из этого следует, что под модулем числа подразумевается абсолютная величина, то есть, ее абсолютное значение, но без учета его знака. Если говорить еще более просто, то необходимо от числа отбросить знак.

Обозначаться и выглядеть модуль числа может так: |3|, |х|, |а| и т.д.

Так, например, модуль числа 3 обозначается |3|.

Также, следует помнить, что модуль числа никогда не бывает отрицательным: |a|≥ 0.

|5| = 5, |-6| = 6, |-12,45| = 12,45 и т.д.

Геометрический смысл модуля

Модулем числа называют расстояние, которое измеряется в единичных отрезках от начала координат до точки. В этом определении раскрывается модуль с геометрической точки зрения.

Возьмем координатную прямую и обозначим на ней две точки. Пускай этим точкам будут соответствовать такие числа, как −4 и 2.

Теперь давайте обратим внимание на данный рисунок. Мы видим, что обозначенная на координатной прямой точка А соответствует числу -4 и если вы внимательно посмотрите, то увидите, что эта точка находится от точки отсчета 0 на расстоянии 4 единичных отрезков. Отсюда следует, что длина отрезка OA равняется четырем единицам. В этом случае, длина отрезка ОА, то есть число 4 будет модулем числа -4.

Обозначается и записывается в данном случае модуль числа таким образом: |−4| = 4.

Теперь возьмем, и на координатной прямой обозначим точку В.

Эта точка В будет соответствовать числу +2, и находится она, как мы видим, от начала отсчета на расстоянии двух единичных отрезков. Из этого следует, что длина отрезка OB равняется двум единицам. В этом случае число 2 будет модулем числа +2.

В записи это будет выглядеть так: |+2| = 2 или |2| = 2.

А теперь подведем итог. Если мы с вами возьмем какое-то неизвестное число а и обозначим его на координатной прямой точкой А, то в этом случае расстояние от точки A до начала отсчёта, то есть длинна отрезка ОА, как раз и является модулем числа «a».

В записи это будет выглядеть так: |a| = OA.

Модуль числа его свойства

А теперь давайте попробуем выделить свойства модуля, рассмотреть всевозможные случаи и записать их с помощью буквенных выражений:

Во-первых, модулем числа является число неотрицательное, а значит модуль положительного числа, равен самому числу: |a| = a, если a > 0;

Во-вторых, модули, которые состоят из противоположных чисел, равны: |а| = |–а|. То есть это свойство говорит нам о том, что противоположные числа всегда имеют равные модули, та как на координатной прямой, хотя они и имеют противоположные числа, но они находятся на одинаковом расстоянии от точки отсчета. Из этого следует, что и модули этих противоположных чисел равны.

В-третьих, модуль нуля равняется нулю в том случае, если это число является нулем: |0| = 0, если a = 0. Здесь можно с уверенностью сказать, что модулем нуля является ноль по определению, так как ему соответствует начало отсчета координатной прямой.

Четвертым свойством модуля является то, что модуль произведения двух чисел равен произведению модулей этих чисел. Теперь подробнее рассмотрим, что это значит. Если следовать определению, то мы с вами знаем, что модуль произведения чисел a и b будет равен a b, или −(a b), если, а в ≥ 0, или же – (а в), если, а в больше 0. В записи это будет выглядеть так: |а b| = |а| |b|.

Пятым свойством является то, что модуль частного от деления чисел равен отношению модулей этих чисел: |а: b| = |а| : |b|.

И следующие свойства модуля числа:

Решение уравнений и неравенств, которые содержат модуль числа

Приступив к решению задач, которые имеют модуль числа, следует помнить, что чтобы решить такое задание, необходимо раскрыть знак модуля, используя знания свойств, которым эта задача соответствует.

Задание 1

Так, к примеру, если под знаком модуля стоит выражение, которое зависит от переменной, то раскрывать модуль следует в соответствии с определением:

Конечно же, при решении задач бывают случаи, когда модуль раскрывается однозначно. Если, например, взять

, здесь мы видим, что такое выражение под знаком модуля неотрицательно при любых значениях х и у.

Или, же для примера берем

, мы видим, что это выражение под модулем не положительно при любых значениях z.

Задание 2

Перед вами изображена координатная прямая. На этой прямой необходимо отметить числа, модуль которых будет равен 2.

Решение

В первую очередь, мы должны начертить координатную прямую. Вам уже известно, что для этого, вначале на прямой необходимо выбрать начало отсчета, направление и единичный отрезок. Далее, нам нужно от начала отсчета поставить точки, которые равны расстоянию двух единичных отрезков.

Как видим, таких точек на координатной прямой две, одна из которых соответствует числу -2, а другая числу 2.

Историческая справка о модуле числа

Термин «модуль» произошел от латинского названия modulus, что в переводе обозначает слово «мера». Ввел в обращение этот термин английский математик Роджер Котес. А вот знак модуля был введен благодаря немецкому математику Карлу Вейерштрассу. При написании модуль обозначается с помощью такого символа: | |.

Вопросы на закрепление знаний материала

На сегодняшнем уроке мы с вами познакомились с таким понятием, как модуль числа, а теперь давайте проверим, как вы усвоили эту тему, ответив на поставленные вопросы:

1. Как называется число, которое противоположно положительному числу?
2. Какое название носит число, которое противоположно отрицательному числу?
3. Назовите число, которое является противоположным нулю. Существует ли такое число?
4. Назовите то число, которое не может являться модулем числа.
5. Дайте определение модулю числа.

Домашнее задание

1. Перед вами изображены числа, которые вам нужно расположить в порядке убывания модулей. Если вы правильно выполните задание, то узнаете фамилию человека, который впервые ввел в математику термин «модуль».

2. Начертите координатную прямую и найдите расстояние от М(-5) и К (8) до начала отсчета.

Предмети > Математика > Математика 6 класс

Инструкция

Если модуль представлен в виде непрерывной функции, то значение ее аргумента может быть как положительным, так и отрицательным: |х| = х, х ≥ 0; |х| = - х, х

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2);

Легко заметить, что сложение и вычитание комплексных чисел подчиняется тому же правилу, что сложение и .

Произведение двух комплексных чисел равно:

z1*z2 = (x1 + iy1)*(x2 + iy2) = x1*x2 + i*y1*x2 + i*x1*y2 + (i^2)*y1*y2.

Поскольку i^2 = -1, то конечный результат равен:

(x1*x2 - y1*y2) + i(x1*y2 + x2*y1).

Операции возведения в степень и извлечения корня для комплексных чисел определяются так же, как и для действительных. Однако в комплексной области для любого числа существует ровно n таких чисел b, что b^n = a, то есть n корней n-ой степени.

В частности, это значит, что любое алгебраическое уравнение n-ой степени с одной переменной имеет ровно n комплексных корней, некоторые из которых могут быть и .

Видео по теме

Источники:

• Лекция "Комплексные числа" в 2019

Корнем называют значок, обозначающий математическую операцию нахождения такого числа, возведение которого в указанную перед знаком корня степень должно дать число, указанное под этим самым знаком. Часто для решения задач, в которых присутствуют корни, недостаточно только рассчитать значение. Приходится осуществлять и дополнительные операции, одной из которых является внесение числа, переменной или выражения под знак корня.

Инструкция

Определите показатель степени корня. Показателем называют целое число, указывающее степень, в которую надо возвести результат вычисления корня, чтобы получить подкоренное выражение (то число, из которого извлекается этот корень). Показатель степени корня в виде верхнего индекса перед значком корня. Если этот не указан, это квадратный корень, степень которого равна двойке. Например, показатель корня √3 двум, показатель ³√3 равен трем, показатель корня ⁴√3 равен четырем и т.д.

Возведите число, которое требуется внести под знак корня, в степень, равную показателю этого корня, определенную вами на предыдущем шаге. Например, если нужно внести число 5 под знак корня ⁴√3, то показателем степени корня является четверка и вам надо результат возведения 5 в четвертую степень 5⁴=625. Сделать это можно любым удобным вам способом - в уме, с помощью калькулятора или соответствующих -сервисов, размещенных .

Внесите полученное на предыдущем шаге значение под знак корня в качестве множителя подкоренного выражения. Для использованного в предыдущем шаге примера с внесением под корень ⁴√3 5 (5*⁴√3), это действие можно так: 5*⁴√3=⁴√(625*3).

Упростите полученное подкоренное выражение, если это возможно. Для примера из предыдущих шагов это , что нужно просто перемножить числа, стоящие под знаком корня: 5*⁴√3=⁴√(625*3)=⁴√1875. На этом операция внесения числа под корень будет завершена.

Если в задаче присутствуют неизвестные переменные, то описанные выше шаги можно проделать в общем виде. Например, если требуется внести под корень четвертой степени неизвестную переменную x, а подкоренное выражение равно 5/x³, то вся последовательность действий может быть записана так: x*⁴√(5/x³)=⁴√(x⁴*5/x³)=⁴√(x*5).

Источники:

• как называется знак корня

Действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое квадратное уравнение. Простейшее из квадратных уравнений, не имеющих корней среди действительных чисел - это x^2+1=0. При его решении получается, что x=±sqrt(-1), а согласно законам элементарной алгебры, извлечь корень четной степени из отрицательного числа нельзя.

Модуль числа a — это расстояние от начала координат до точки А (a ).

Чтобы понять это определение, подставим вместо переменной a любое число, например 3 и попробуем снова прочитать его:

Модуль числа 3 — это расстояние от начала координат до точки А (3 ).

Становится ясно, что модуль это ни что иное, как обычное расстояние. Давайте попробуем увидеть расстояние от начала координат до точки А(3 )

Расстояние от начала координат до точки А(3 ) равно 3 (трём единицам или трём шагам).

Модуль числа обозначает двумя вертикальными линиями, например:

Модуль числа 3 обозначается так: |3|

Модуль числа 4 обозначается так: |4|

Модуль числа 5 обозначается так: |5|

Мы искали модуль числа 3 и выяснили, что он равен 3. Так и записываем:

Читается как: «Модуль числа три равен три»

Теперь попробуем найти модуль числа -3. Опять же возвращаемся к определению и подставляем в него число -3. Только вместо точки A используем новую точку B . Точку A мы уже использовали в первом примере.

Модулем числа —3 называют расстояние от начала координат до точки B (—3 ).

Расстояние от одного пункта до другого не может быть отрицательным. Поэтому и модуль любого отрицательного числа, будучи являясь расстоянием тоже не будет отрицательным. Модуль числа -3 будет число 3. Расстояние от начала координат до точки B(-3) равно также трём единицам:

Читается как: «Модуль числа минус три равен три»

Модуль числа 0 равен 0, та как точка с координатой 0 совпадает с началом координат, т.е. расстояние от начала координат до точки O(0) равно нулю:

«Модуль нуля равен нулю»

Делаем выводы:

• Модуль числа не может быть отрицательным;
• Для положительного числа и нуля модуль равен самому числу, а для отрицательного – противоположному числу;
• Противоположные числа имеют равные модули.

Противоположные числа

Числа, отличающиеся только знаками называют противоположными . Например, числа −2 и 2 являются противоположными. Они отличаются только знаками. У числа −2 знак минуса, а у 2 знак плюса, но мы его не видим, потому что плюс, как мы говорили ранее, по традиции не пишут.

Еще примеры противоположных чисел:

Противоположные числа имеют равные модули. Например, найдём модули для −2 и 2

На рисунке видно, что расстояние от начала координат до точек A(−2) и B(2) одинаково равно двум шагам.

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

В этой статье мы детально разберем модуль числа . Мы дадим различные определения модуля числа, введем обозначения и приведем графические иллюстрации. При этом рассмотрим различные примеры нахождения модуля числа по определению. После этого мы перечислим и обоснуем основные свойства модуля. В конце статьи поговорим о том, как определяется и находится модуль комплексного числа.

Навигация по странице.

Модуль числа – определение, обозначение и примеры

Сначала введем обозначение модуля числа . Модуль числа a будем записывать как , то есть, слева и справа от числа будем ставить вертикальные черточки, образующие знак модуля. Приведем пару примеров. Например, модуль −7 можно записать как ; модуль 4,125 записывается как , а модуль имеет запись вида .

Следующее определение модуля относится к , а следовательно, и к , и к целым, и к рациональным, и к иррациональным числам, как к составляющим частям множества действительных чисел. О модуле комплексного числа мы поговорим в .

Определение.

Модуль числа a – это либо само число a , если a – положительное число, либо число −a , противоположное числу a , если a – отрицательное число, либо 0 , если a=0 .

Озвученное определение модуля числа часто записывают в следующем виде , эта запись означает, что , если a>0 , , если a=0 , и , если a<0 .

Запись можно представить в более компактной форме . Эта запись означает, что , если (a больше или равно 0 ), и , если a<0 .

Также имеет место и запись . Здесь отдельно следует пояснить случай, когда a=0 . В этом случае имеем , но −0=0 , так как нуль считают числом, которое противоположно самому себе.

Приведем примеры нахождения модуля числа с помощью озвученного определения. Для примера найдем модули чисел 15 и . Начнем с нахождения . Так как число 15 – положительное, то его модуль по определению равен самому этому числу, то есть, . А чему равен модуль числа ? Так как - отрицательное число, то его модуль равен числу, противоположному числу , то есть, числу . Таким образом, .

В заключение этого пункта приведем один вывод, который очень удобно применять на практике при нахождении модуля числа. Из определения модуля числа следует, что модуль числа равен числу под знаком модуля без учета его знака , а из рассмотренных выше примеров это очень отчетливо видно. Озвученное утверждение объясняет, почему модуль числа называют еще абсолютной величиной числа . Так модуль числа и абсолютная величина числа – это одно и то же.

Модуль числа как расстояние

Геометрически модуль числа можно интерпретировать как расстояние . Приведем определение модуля числа через расстояние .

Определение.

Модуль числа a – это расстояние от начала отсчета на координатной прямой до точки, соответствующей числу a.

Данное определение согласуется с определением модуля числа, данного в первом пункте. Поясним этот момент. Расстояние от начала отсчета до точки, которой соответствует положительное число, равно этому числу. Нулю соответствует начало отсчета, поэтому расстояние от начала отсчета до точки с координатой 0 равно нулю (не нужно откладывать ни одного единичного отрезка и ни одного отрезка, составляющего какую-нибудь долю единичного отрезка, чтобы от точки O попасть в точку с координатой 0 ). Расстояние от начала отсчета до точки с отрицательной координатой равно числу, противоположному координате данной точки, так как равно расстоянию от начала координат до точки, координатой которой является противоположное число.

Например, модуль числа 9 равен 9 , так как расстояние от начала отсчета до точки с координатой 9 равно девяти. Приведем еще пример. Точка с координатой −3,25 находится от точки O на расстоянии 3,25 , поэтому .

Озвученное определение модуля числа является частным случаем определения модуля разности двух чисел.

Определение.

Модуль разности двух чисел a и b равен расстоянию между точками координатной прямой с координатами a и b .

То есть, если даны точки на координатной прямой A(a) и B(b) , то расстояние от точки A до точки B равно модулю разности чисел a и b . Если в качестве точки В взять точку O (начало отсчета), то мы получим определение модуля числа, приведенное в начале этого пункта.

Определение модуля числа через арифметический квадратный корень

Иногда встречается определение модуля через арифметический квадратный корень .

Для примера вычислим модули чисел −30 и на основании данного определения. Имеем . Аналогично вычисляем модуль двух третьих: .

Определение модуля числа через арифметический квадратный корень также согласуется с определением, данным в первом пункте этой статьи. Покажем это. Пусть a – положительное число, при этом число −a – отрицательное. Тогда и , если же a=0 , то .

Свойства модуля

Модулю присущ ряд характерных результатов - свойства модуля . Сейчас мы приведем основные и наиболее часто используемые из них. При обосновании этих свойств мы будем опираться на определение модуля числа через расстояние.

Начнем с самого очевидного свойства модуля – модуль числа не может быть отрицательным числом . В буквенном виде это свойство имеет запись вида для любого числа a . Это свойство очень легко обосновать: модуль числа есть расстояние, а расстояние не может выражаться отрицательным числом.

Переходим к следующему свойству модуля. Модуль числа равен нулю тогда и только тогда, когда это число есть нуль . Модуль нуля есть нуль по определению. Нулю соответствует начало отсчета, никакая другая точка на координатной прямой нулю не соответствует, так как каждому действительному числу поставлена в соответствие единственная точка на координатной прямой. По этой же причине любому числу, отличному от нуля, соответствует точка, отличная от начала отсчета. А расстояние от начала отсчета до любой точки, отличной от точки O , не равно нулю, так как расстояние между двумя точками равно нулю тогда и только тогда, когда эти точки совпадают. Приведенные рассуждения доказывают, что нулю равен лишь модуль нуля.

Идем дальше. Противоположные числа имеют равные модули, то есть, для любого числа a . Действительно, две точки на координатной прямой, координатами которых являются противоположные числа, находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчета, значит модули противоположных чисел равны.

Следующее свойство модуля таково: модуль произведения двух чисел равен произведению модулей этих чисел , то есть, . По определению модуль произведения чисел a и b равен либо a·b , если , либо −(a·b) , если . Из правил умножения действительных чисел следует, что произведение модулей чисел a и b равно либо a·b , , либо −(a·b) , если , что доказывает рассматриваемое свойство.

Модуль частного от деления a на b равен частному от деления модуля числа a на модуль числа b , то есть, . Обоснуем это свойство модуля. Так как частное равно произведению , то . В силу предыдущего свойства имеем . Осталось лишь воспользоваться равенством , которое справедливо в силу определения модуля числа.

Следующее свойство модуля записывается в виде неравенства: , a , b и c – произвольные действительные числа. Записанное неравенство представляет собой ни что иное как неравенство треугольника . Чтобы это стало понятно, возьмем точки A(a) , B(b) , C(c) на координатной прямой, и рассмотрим вырожденный треугольник АВС , у которого вершины лежат на одной прямой. По определению модуля разности равен длине отрезка АВ , - длине отрезка АС , а - длине отрезка СВ . Так как длина любой стороны треугольника не превосходит сумму длин двух других сторон, то справедливо неравенство , следовательно, справедливо и неравенство .

Только что доказанное неравенство намного чаще встречается в виде . Записанное неравенство обычно рассматривают как отдельное свойство модуля с формулировкой: «Модуль суммы двух чисел не превосходит сумму модулей этих чисел ». Но неравенство напрямую следует из неравенства , если в нем вместо b положить −b , и принять c=0 .

Модуль комплексного числа

Дадим определение модуля комплексного числа . Пусть нам дано комплексное число , записанное в алгебраической форме , где x и y – некоторые действительные числа, представляющие собой соответственно действительную и мнимую части данного комплексного числа z , а – мнимая единица.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.