Что такое синус и косинус. Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса
Для начала рассмотрим круг с радиусом 1 и с центром в (0;0). Для любого αЄR можно провести радиус 0A так, что радианная мера угла между 0A и осью 0x равна α. Направление против часовой стрелки считается положительным. Пусть конец радиуса А имеет координаты (a,b).
Определение синуса
Определение: Число b, равное ординате единичного радиуса, построенного описанным способом, обозначается sinα и называется синусом угла α.
Пример: sin 3π cos3π/2 = 0 0 = 0
Определение косинуса
Определение: Число a, равное абсциссе конца единичного радиуса, построенного описанным способом, обозначается cosα и называется косинусом угла α.
Пример: cos0 cos3π + cos3,5π = 1 (-1) + 0 = 2
Эти примеры используют определение синуса и косинуса угла через координаты конца единичного радиуса и единичной окружности. Для более наглядного представления необходимо нарисовать единичную окружность и отложить на ней соответствующие точки, а затем посчитать их абсциссы для вычисления косинуса и ординаты для вычисления синуса.
Определение тангенса
Определение: Функция tgx=sinx/cosx при x≠π/2+πk, kЄZ, называется котангенсом угла x. Область определения функции tgx это все действительные числа, кроме x=π/2+πn, nЄZ.
Пример: tg0 tgπ = 0 0 = 0
Этот пример аналогичен предыдущему. Для вычисления тангенса угла нужно поделить ординату точки на её абсциссу.
Определение котангенса
Определение: Функция ctgx=cosx/sinx при x≠πk, kЄZ называется котангенсом угла x. Область определения функции ctgx = -все действительные числа кроме точек x=πk, kЄZ.
Рассмотрим пример на обычном прямоугольном треугольнике
Чтобы было понятнее, что же такое косинус, синус, тангенс и котангенс. Рассмотрим пример на обычном прямоугольном треугольнике с углом y и сторонами a,b,c . Гипотенуза с, катеты соответственно a и b. Угол между гипотенузой c и катетом b y.
Определение: Синус угла y - это отношение противолежащего катета к гипотенузе: siny = а/с
Определение: Косинус угла y это отношение прилежащего катета к гипотенузе: сosy= в/с
Определение: Тангенс угла у - это отношение противолежащего катета к прилежащему: tgy = а/в
Определение: Котангенс угла y -это отношение прилежащего катета к противолежащему: ctgy= в/а
Cинус, косинус, тангенс и котангенс называют ещё тригонометрическими функциями. У каждого угла есть свой синус и косинус. И практически у каждого есть свой тангенс и котангенс.
Считается, что если нам дан угол, то его синус, косинус, тангенс и котангенс нам известны! И наоборот. Дан синус, или любая другая тригонометрическая функция соответственно, мы знаем угол. Созданы даже специальные таблицы, где расписаны тригонометрические функции для каждого угла.
Составной частью ЕГЭ являются тригонометрические уравнения.
К сожалению, не существует общего единого метода, следуя которому можно было бы решить любое уравнение, в котором участвуют тригонометрические функции. Успех здесь могут обеспечить лишь хорошие знания формул и умение видеть те или иные полезные комбинации, что вырабатывается лишь практикой.
Общая цель обычно состоит в преобразовании входящего в уравнение тригонометрического выражения к такому виду, чтобы корни находились из так называемых простейших уравнений:
| сos px = a; | sin gx = b; | tg kx = c; | ctg tx = d. |
Для этого необходимо уметь применять тригонометрические формулы. Полезно знать и называть их “именами”:
1. Формулы двойного аргумента, тройного аргумента:
сos 2x = cos 2 x – sin 2 x = 1 – 2 sin 2 x = 2 cos 2 x – 1;
sin 2x = 2 sin x cos x;
tg 2x = 2 tg x/1 – tg x;
ctg 2x = (ctg 2 x – 1)/2 ctg x;
sin 3x = 3 sin x – 4 sin 3 x;
cos 3x = 4 cos 3 x – 3 cos x;
tg 3x = (2 tg x – tg 3 x)/(1 – 3 tg 2 x);
ctg 3x = (ctg 3 x – 3ctg x)/(3ctg 2 x – 1);
2. Формулы половинного аргумента или понижения степени:
sin 2 x/2 = (1 – cos x)/2; сos 2 x/2 = (1 + cos x)/2;
tg 2 x = (1 – cos x)/(1 + cos x);
ctg 2 x = (1 + cos x)/(1 – cos x);
3. Введение вспомогательного аргумента:
рассмотрим на примере уравнения a sin x + b cos x = c а именно, определяя угол х из условий sin y = b/v(a 2 + b 2), cos y = a/v(a 2 + b 2), мы можем привести рассматриваемое уравнение к простейшему sin (x + y) = c/v(a 2 + b 2) решения которого выписываются без труда; тем самым определяются и решения исходного уравнения.
4. Формулы сложения и вычитания:
sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b;
sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b;
cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b;
cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b;
tg (a + b) = (tg a + tg b)/(1 – tg a tg b);
tg (a – b) = (tg a – tg b)/(1 + tg a tg b);
5. Универсальная тригонометрическая подстановка:
sin a = 2 tg (a/2)/(1 + (tg 2 (a/2));
cos a = (1 – tg 2 (a/2))/(1 + (tg 2 (a/2));
tg a = 2 tg a/2/(1 – tg 2 (a/2));
6. Некоторые важные соотношения:
sin x + sin 2x + sin 3x +…+ sin mx = (cos (x/2) -cos (2m + 1)x)/(2 sin (x/2));
cos x + cos 2x + cos 3x +…+ cos mx = (sin (2m+ 1)x/2 – sin (x/2))/(2 sin (x/2));
7. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:
sin a + sin b = 2 sin(a + b)/2 cos (a – b)/2;
cos a – cos b = -2 sin(a + b)/2 sin (b – a)/2;
tg a + tg b = sin (a + b)/(cos a cos b);
tg a – tg b = sin (a – b)/(cos a cos b).
А также формулы приведения.
В процессе решения надо особенно внимательно следить за эквивалентностью уравнений, чтобы не допустить потери корней (например, при сокращении левой и правой частей уравнения на общий множитель), или приобретения лишних корней (например, при возведении обеих частей уравнения в квадрат). Кроме того, необходимо контролировать принадлежат ли получающие корни к ОДЗ рассматриваемого уравнения.
Во всех необходимых случаях (т.е. когда допускались неэквивалентные преобразования), нужно обязательно делать проверку. При решении уравнении необходимо научить учащихся сводить их к определенным видам, обычно начиная с легких уравнении.
Ознакомимся с методами решения уравнений:
1. Сведение к виду аx 2 + bx + c = 0
2. Однородность уравнений.
3. Разложение на множители.
4. Сведение к виду a 2 + b 2 + c 2 = 0
5. Замена переменных.
6. Сведение уравнения к уравнению с одной переменной.
7. Оценка левой и правой части.
8. Метод пристального взгляда.
9. Введение вспомогательного угла.
10. Метод “ Разделяй и властвуй ”.
Рассмотрим примеры:
1. Решить уравнение: sin x + cos 2 х = 1/4.
Решение : Решим методом сведения к квадратному уравнению. Выразим cos 2 х через sin 2 x
sin x + 1 – sin 2 x = 1/4
4 sin 2 x – 4 sin x – 3 = 0
sin x = -1/2, sin x = 3/2(не удовлетворяет условию х€[-1;1]),
т.е. х = (-1) к+1 arcsin 1/2 + k, k€z,
Ответ : (-1) к+1 /6 + k, k€z.
2. Решить уравнение: 2 tg x cos x +1 = 2 cos x + tg x,
решим способом разложения на множители
2 tg x cos x – 2 cos x + 1 – tg x = 0,где х /2 + k, k€z,
2 cos x (tg x – 1) – (tg x – 1) = 0
(2 cos x – 1) (tg x – 1) = 0
2 cos x – 1 = 0 или tg x – 1 = 0
cos x = 1/2, tgx = 1,
т.е х = ± /3 + 2k, k€z, х = /4 + m, m€z.
Ответ : ± /3 + 2k, k€z, /4 + m, m€z.
3. Решить уравнение: sin 2 x – 3 sin х cos x + 2 cos 2 х = 0.
Решение : sin 2 x – 3 sin х cos x + 2 cos 2 х = 0 однородное уравнение 2 степени. Поскольку cos x = 0 не является корнем данного уравнения, разделим левую и правую часть на cos 2 х. В результате приходим к квадратному уравнению относительно tg x
tg 2 x – 3 tg x + 2 = 0,
tg x = 1 и tg x = 2,
откуда х = /4 + m, m€z,
х = arctg 2 + k, k€z.
Ответ : /4 + m, m€z, arctg 2 + k, k€z.
4. Решить уравнение: cos (10x + 12) + 42 sin (5x + 6) = 4.
Решение : Метод введения новой переменной
Пусть 5х + 6 = у, тогда cos 2у + 4 2 sin у = 4
1 – 2 sin 2 у + 4 2 sin у – 4 = 0
sin у = t, где t€[-1;1]
2t 2 – 4 2t + 3 = 0
t = 2/2 и t = 3 2/2 (не удовлетворяет условию t€[-1;1])
sin (5x + 6) = 2/2,
5x + 6 = (-1) к /4 + k, k€z,
х = (-1) к /20 – 6/5 + k/5, k€z.
Ответ : (-1) к?/20 – 6/5 + ?k/5, k€z.
5. Решить уравнение: (sin х – cos у) 2 + 40х 2 = 0
Решение: Используем а 2 +в 2 +с 2 = 0, верно, если а = 0, в = 0, с = 0. Равенство возможно, если sin х – cos у = 0, и 40х = 0 отсюда:
х = 0, и sin 0 – cos у = 0, следовательно, х = 0, и cos у = 0, отсюда: х = 0, и у = /2 + k, k€z, также возможна запись (0; /2 + k) k€z.
Ответ : (0; /2 + k) k€z.
6. Решить уравнение: sin 2 х + cos 4 х – 2 sin х + 1 = 0
Решение: Преобразуем уравнение и применим метод “разделяй и властвуй”
(sin 2 х – 2 sin х +1) + cos 4 х = 0;
(sin х – 1) 2 + cos 4 х = 0; это возможно если
(sin х – 1) 2 = 0, и cos 4 х = 0, отсюда:
sin х – 1 = 0, и cos х = 0,
sin х = 1, и cos х = 0, следовательно
х = /2 + k, k€z
Ответ : /2 + k, k€z.
7. Решить уравнение: sin 5х + sin х = 2 + cos 2 х.
Решение: применим метод оценки левой и правой части и ограниченность функций cos и sin.
– 1 sin 5х 1, и -1 sin х 1
0 + 2 2 + cos 2 х 1 + 2
2 2 + cos 2 х 3
sin 5х + sin х 2, и 2 + cos 2 х 2
2 sin 5х + sin х 2, т.е.
sin 5х + sin х 2,
имеем левая часть 2, а правая часть 2,
равенство возможно если, они оба равны 2.
cos 2 х = 0, и sin 5х + sin х = 2, следовательно
х = /2 + k, k€z (обязательно проверить).
Ответ : /2 + k, k€z.
8. Решить уравнение: cos х + cos 2х + cos 3х+ cos 4х = 0.
Решение : Решим методом разложения на множители. Группируем слагаемые, расположенные в левой части, в пары.
(В данном случае любой способ группировки приводит к цели.) Используем формулу cos a+cos b=2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2.
2 cos 3/2х cos х/2 + 2 cos 7/2х cos х/2 = 0,
cos х/2 (cos 3/2х + cos 7/2х) = 0,
2 cos 5/2х cos х/2 cos х = 0,
Возникают три случая:
Ответ : + 2k, /5 + 2/5k, /2 + k, k€z.
Обратим внимание на то, что второй случай включает в себя первый. (Если во втором случае взять к = 4 + 5, то получим + 2n). Поэтому нельзя сказать, что правильнее, но во всяком случае “культурнее и красивее” будет выглядеть ответ: х 1 = /5 + 2/5k, х 2 = /2 + k, k€z. (Вновь типичная ситуация, приводящая к различным формам записи ответа). Первый ответ также верен.
Рассмотренное уравнение иллюстрирует весьма типичную схему решения – разложение уравнения на множители за счёт попарной группировки и использования формул:
sin a + sin b = 2 sin (a + b)/2 cos (a – b)/2;
sin a – sin b = 2 cos (a + b)/2 sin (a – b)/2;
cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2;
cos a – cos b = -2 sin (a + b)/2 sin (b – a)/2.
Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений весьма специфична и обычно оказывается более сложной, чем это имело место для уравнений алгебраических. Приведём решения уравнений, иллюстрирующие типичные случаи появления лишних (посторонних) корней и методы “борьбы” с ними.
Лишние корни могут появиться вследствие того, что в процессе решения произошло расширение области определения уравнений. Приведём примеры.
9. Решить уравнение: (sin 4х – sin 2х – cos 3х + 2sin х -1)/(2sin 2х – 3) = 0.
Решение: Приравняем нулю числитель (при этом происходит расширение области определения уравнения – добавляются значения х, обращающие в нуль знаменатель) и постараемся разложить его на множители. Имеем:
2 cos 3х sin х – cos 3х + 2sin х – 1 = 0,
(cos 3х + 1) (2 sin х – 1) = 0.
Получаем два уравнения:
cos 3х + 1 = 0, х = /3 + 2/3k.
Посмотрим, какие k нам подходят. Прежде всего, заметим, что левая часть нашего уравнения представляет собой периодическую функцию с периодом 2. Следовательно, достаточно найти решение уравнения, удовлетворяющее условию 0 х < 2 (один раз “обойти” круг), затем к найденным значениям прибавить 2k.
Неравенству 0 х < 2 удовлетворяют три числа: /3, 5/3.
Первое не подходит, поскольку sin 2/3 = 3/2, знаменатель обращается в нуль.
Ответ для первого случая: х 1 = + 2k, х 2 = 5/3 + 2k (можно х 2 = – /3 + 2k), k€z.
Найдём решение этого уравнения, удовлетворяющие условию 0 х < 2. Их два: /6, 5/6. Подходит второе значение.
Ответ : + 2k, 5/3 + 2k, 5/6 + 2k, k€z.
10. Найти корни уравнений: v(cos 2х + sin 3х) = v2 cos х.
Решение этого уравнения распадается на два этапа:
1) решение уравнения, получающегося из данного возведением в квадрат обеих его частей;
2) отбор тех корней, которые удовлетворяют условию cos х 0. При этом (как и в случае алгебраических уравнений) заботиться об условии cos 2х + sin 3х 0 нет необходимости. Все значения k, удовлетворяющие возведённому в квадрат уравнению, этому условию удовлетворяют.
Первый шаг приводит нас к уравнению sin 3х = 1, откуда х 1 = /6 + 2/3k.
Теперь надо определить, при каких k будет иметь место cos (/6 + 2/3k) 0. Для этого достаточно для k рассмотреть значения 0, 1, 2, т.е. как обычно “обойти один раз круг”, поскольку дальше значения косинуса будут отличаться от уже рассмотренных на величину, кратную 2.
Ответ : /6 + 2k, 3/2/3 + 2k, 5/6 + 2k, k€z.
11. Решить уравнение: sin 8 х – cos 5 х = 1.
Решение этого уравнения основывается на следующем простом соображении: если 0 < a < 1 то a t убывает с ростом t.
Значит, sin 8 х sin 2 х, – cos 5 х cos 2 х;
Сложив почленно эти неравенства, будем иметь:
sin 8 х – cos 5 х sin 2 х + cos 2 х = 1.
Следовательно, левая часть данного уравнения равна единице тогда и только тогда, когда выполняются два равенства:
sin 8 х = sin 2 х, cos 5 х = cos 2 х,
т.е. sin х может принимать значения -1, 0
Ответ : /2 + k, + 2k, k€z.
Для полноты картины рассмотрим ещё пример.
12. Решить уравнение: 4 cos 2 х – 4 cos 2 3х cos х + cos 2 3х = 0.
Решение : Будем рассматривать левую часть данного уравнения как квадратный трёхчлен относительно cos х.
Пусть D – дискриминант этого трёхчлена:
1/4 D = 4 (cos 4 3х – cos 2 3х).
Из неравенства D 0 следует cos 2 3х 0 или cos 2 3х 1.
Значит, возникают две возможности: cos 3х = 0 и cos 3х = ± 1.
Если cos 3х = 0, то из уравнения следует, что и cos х = 0, откуда х = /2 + k.
Эти значения х удовлетворяют уравнению.
Если cos 3х = 1, то из уравнения cos х = 1/2 находим х = ± /3 + 2k. Эти значения также удовлетворяют уравнению.
Ответ : /2 + k, /3 + 2k, k€z.
13. Решить уравнение: sin 4 x + cos 4 x = 7/2 sin x cos x.
Решение : Преобразуем выражение sin 4 x + cos 4 x,выделив полный квадрат: sin 4 x + cos 4 x = sin 4 x + 2 sin 2 х cos 2 х + cos 4 x – 2 sin 2 х cos 2 х = (sin 2 х + cos 2 х) 2 – 2 sin 2 х cos 2 х, откуда sin 4 x + cos 4 x = 1 – 1/2 sin 2 2х. Пользуясь полученной формулой, запишем уравнение в виде
1-1/2 sin 2 2х = 7/4 sin 2х.
обозначив sin 2х = t, -1 t 1,
получим квадратное уравнение 2t 2 + 7t – 4 = 0,
решая которое, находим t 1 = 1/2, t 2 = – 4
уравнение sin 2х = 1/2
2х = (- 1) к /6 + k, k€z, х = (- 1) к //12 + k /2, k€z .
Примеры:
\(\cos{30^°}=\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cos\)\(\frac{π}{3}\)
\(=\)\(\frac{1}{2}\)
\(\cos2=-0,416…\)
Аргумент и значение
Косинус острого угла
Косинус острого угла можно определить с помощью прямоугольного треугольника - он равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
Пример :
1) Пусть дан угол и нужно определить косинус этого угла.
2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.
3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить косинус.
Косинус числа
Числовая окружность позволяет определить косинус любого числа, но обычно находят косинус чисел как-то связанных с : \(\frac{π}{2}\) , \(\frac{3π}{4}\) , \(-2π\).
Например, для числа \(\frac{π}{6}\) - косинус будет равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) . А для числа \(-\)\(\frac{3π}{4}\) он будет равен \(-\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) (приблизительно \(-0,71\)).
Косинус для других часто встречающихся в практике чисел смотри в .
Значение косинуса всегда лежит в пределах от \(-1\) до \(1\). При этом вычислен косинус может быть для абсолютно любого угла и числа.
Косинус любого угла
Благодаря числовой окружности можно определять косинус не только острого угла, но и тупого, отрицательного, и даже большего, чем \(360°\) (полный оборот). Как это делать - проще один раз увидеть, чем \(100\) раз услышать, поэтому смотрите картинку.
Теперь пояснение: пусть нужно определить косинус угла КОА с градусной мерой в \(150°\). Совмещаем точку О с центром окружности, а сторону ОК – с осью \(x\). После этого откладываем \(150°\) против часовой стрелки. Тогда ордината точки А покажет нам косинус этого угла.
Если же нас интересует угол с градусной мерой, например, в \(-60°\) (угол КОВ ), делаем также, но \(60°\) откладываем по часовой стрелке.
И, наконец, угол больше \(360°\) (угол КОС ) - всё аналогично тупому, только пройдя по часовой стрелке полный оборот, отправляемся на второй круг и «добираем нехватку градусов». Конкретно в нашем случае угол \(405°\) отложен как \(360° + 45°\).
Несложно догадаться, что для откладывания угла, например, в \(960°\), надо сделать уже два оборота (\(360°+360°+240°\)), а для угла в \(2640°\) - целых семь.
Как вы могли заменить, и косинус числа, и косинус произвольного угла определяется практически одинаково. Изменяются только способ нахождения точки на окружности.
Знаки косинуса по четвертям
С помощью оси косинусов (то есть, оси абсцисс, выделенной на рисунке красным цветом) легко определить знаки косинусов по числовой (тригонометрической) окружности:
Там, где значения на оси от \(0\) до \(1\), косинус будет иметь знак плюс (I и IV четверти – зеленая область),
- там, где значения на оси от \(0\) до \(-1\), косинус будет иметь знак минус (II и III четверти – фиолетовая область).
Связь с другими тригонометрическими функциями:
- того же угла (или числа): основным тригонометрическим тождеством \(\sin^2x+\cos^2x=1\)- того же угла (или числа): формулой \(1+tg^2x=\)\(\frac{1}{\cos^2x}\)
- и синусом того же угла (или числа): формулой \(ctgx=\)\(\frac{\cos{x}}{\sinx}\)
Другие наиболее часто применяемые формулы смотри .
Решение уравнения \(\cosx=a\)
Решение уравнения \(\cosx=a\), где \(a\) – число не большее \(1\) и не меньшее \(-1\) т.е. \(a∈[-1;1]\):
\(\cos x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccosa+2πk, k∈Z\)
Если \(a>1\) или \(a<-1\), то решений у уравнения нет.
Пример . Решите тригонометрическое уравнение \(\cosx=\)\(\frac{1}{2}\).Решение:
Решим уравнение с помощью числовой окружности. Для этого:
1) Построим оси.
2) Построим окружность.
3) На оси косинусов (оси \(y\)) отметим точку \(\frac{1}{2}\)
.
4) Проведем перпендикуляр к оси косинусов через эту точку.
5) Отметим точки пересечения перпендикуляра и окружности.
6)Подпишем значения этих точек: \(\frac{π}{3}\)
,\(-\)\(\frac{π}{3}\)
.
7) Запишем все значения соответствующие этим точкам с помощью формулы \(x=t+2πk\), \(k∈Z\):
\(x=±\)\(\frac{π}{3}\)
\(+2πk\), \(k∈Z\);
Ответ: \(x=±\frac{π}{3}+2πk\) \(k∈Z\)
Функция \(y=\cos{x}\)
Если отложить по оси \(x\) углы в радианах, а по оси \(y\) - соответствующие этим углам значения косинуса, мы получим следующий график:
График данной называется и обладает следующими свойствами:
Область определения – любое значение икса: \(D(\cos{x})=R\)
- область значений – от \(-1\) до \(1\) включительно: \(E(\cos{x})=[-1;1]\)
- четная: \(\cos(-x)=\cos{x}\)
- периодическая с периодом \(2π\): \(\cos(x+2π)=\cos{x}\)
- точки пересечения с осями координат:
ось абсцисс: \((\)\(\frac{π}{2}\)
\(+πn\),\(;0)\), где \(n ϵ Z\)
ось ординат: \((0;1)\)
- промежутки знакопостоянства:
функция положительна на интервалах: \((-\)\(\frac{π}{2}\)
\(+2πn;\) \(\frac{π}{2}\)
\(+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
функция отрицательна на интервалах: \((\)\(\frac{π}{2}\)
\(+2πn;\)\(\frac{3π}{2}\)
\(+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
- промежутки возрастания и убывания:
функция возрастает на интервалах: \((π+2πn;2π+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
функция убывает на интервалах: \((2πn;π+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
- максимумы и минимумы функции:
функция имеет максимальное значение \(y=1\) в точках \(x=2πn\), где \(n ϵ Z\)
функция имеет минимальное значение \(y=-1\) в точках \(x=π+2πn\), где \(n ϵ Z\).
Учителя считают, что каждый школьник должен уметь проводить расчёты, знать тригонометрические формулы, но далеко не каждый преподаватель объясняет, что такое синус и косинус. Каков их смысл, где они используются? Почему мы говорим про треугольники, а в учебнике нарисована окружность? Попробуем связать все факты воедино.
Школьный предмет
Изучение тригонометрии начинается обычно в 7-8 классе средней школы. В это время учащимся объясняют, что такое синус и косинус, предлагают решать геометрические задачи с применением этих функций. Позже появляются более сложные формулы и выражения, которые требуется алгебраическим способом преобразовывать (формулы двойного и половинного угла, степенные функции), проводится работа с тригонометрической окружностью.
Однако учителя далеко не всегда могут доходчиво объяснить смысл используемых понятий и применимость формул. Поэтому ученик зачастую не видит смысла в данном предмете, а заученная информация быстро забывается. Однако стоит один раз объяснить старшекласснику, например, связь между функцией и колебательным движением, и логическая связь запомнится на многие годы, а шутки на тему бесполезности предмета уйдут в прошлое.
Использование
Заглянем ради любопытства в различные разделы физики. Хотите определить дальность полёта снаряда? Или высчитываете силу трения между объектом и некой поверхностью? Раскачиваете маятник, следите за лучами, проходящими сквозь стекло, высчитываете индукцию? Практически в любой формуле фигурируют тригонометрические понятия. Так что такое синус и косинус?
Определения
Синус угла представляет собой отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус - прилежащего катета всё к той же гипотенузе. Здесь нет совершенно ничего сложного. Возможно, учеников обычно смущают значения, которые они видят в тригонометрической таблице, ведь там фигурируют квадратные корни. Да, получать из них десятичные дроби не очень удобно, но кто сказал, что все числа в математике должны быть ровными?
На самом деле в задачниках по тригонометрии можно найти забавную подсказку: большинство ответов здесь ровные и в худшем случае содержат корень из двух или из трёх. Вывод прост: если у вас в ответе получилась «многоэтажная» дробь, перепроверьте решение на предмет ошибок в расчётах или в рассуждениях. И вы их, скорее всего, найдете.
Что нужно запомнить
Как и в любой науке, в тригонометрии есть такие данные, которые необходимо выучить.
Во-первых, следует запомнить числовые значения для синусов, косинусов прямоугольного треугольника 0 и 90, а также 30, 45 и 60 градусов. Эти показатели встречаются в девяти из десяти школьных задач. Подглядывая эти значения в учебнике, вы потеряете много времени, а на контрольной или экзамене посмотреть и вовсе будет негде.
Нужно помнить, что значение обеих функций не может превышать единицу. Если где-либо в расчетах вы получите значение, выходящее за пределы диапазона 0-1, остановитесь и решите задачу заново.
Сумма квадратов синуса и косинуса равна единице. Если вы уже нашли одно из значений, воспользуйтесь этой формулой для нахождения оставшегося.
Теоремы
В базовой тригонометрии существует две основные теоремы: синусов и косинусов.
Первая гласит, что отношение каждой стороны треугольника к синусу противолежащего угла одинаково. Вторая - что квадрат любой стороны можно получить, если сложить квадраты двух оставшихся сторон и вычесть удвоенное их произведение, умноженное на косинус лежащего между ними угла.
Таким образом, если в теорему косинусов подставить значение угла в 90 градусов, мы получим… теорему Пифагора. Теперь, если требуется высчитать площадь фигуры, не являющейся прямоугольным треугольником, можно больше не переживать - две рассмотренные теоремы существенно упростят решение задачи.
Цели и задачи
Изучение тригонометрии значительно упростится, когда вы осознаете один простой факт: все выполняемые вами действия направлены на достижения всего одной цели. Любые параметры треугольника могут быть найдены, если вы знаете о нём самый минимум информации - это может быть величина одного угла и длины двух сторон или, например, три стороны.
Для определения синуса, косинуса, тангенса любого угла этих данных достаточно, с их же помощью можно легко высчитать площадь фигуры. Практически всегда в качестве ответа требуется привести одно из упомянутых значений, а найти их можно по одним и тем же формулам.
Нестыковки при изучении тригонометрии
Одним из непонятных вопросов, которых школьники предпочитают избегать, является обнаружение связи между различными понятиями в тригонометрии. Казалось бы, для изучения синусов и косинусов углов используются треугольники, но обозначения почему-то часто встречаются на рисунке с окружностью. Кроме того, существует и вовсе непонятный волнообразный график под названием синусоида, не имеющий никакого внешнего сходства ни с окружностью, ни с треугольниками.
Более того, углы измеряются то в градусах, то в радианах, а число Пи, записывающееся просто как 3,14 (без единиц измерения), почему-то фигурирует в формулах, соответствуя 180 градусам. Как всё это связано между собой?
Единицы измерения
Почему число Пи равняется именно 3,14? Помните ли вы, что это за значение? Это количество радиусов, умещающихся в дуге на половине окружности. Если диаметр круга - 2 сантиметра, длина окружности составит 3,14*2, или 6,28.
Второй момент: возможно, вы замечали сходство слов «радиан» и «радиус». Дело в том, что один радиан численно равен величине угла, отложенного из центра окружности на дугу длиной в один радиус.
Теперь совместим полученные знания и поймем, почему сверху на оси координат в тригонометрии пишется «Пи пополам», а слева - «Пи». Это угловая величина, измеренная в радианах, ведь полукруг - это 180 градусов, или 3,14 радиана. А там, где есть градусы, есть синусы и косинусы. Треугольник же легко провести от нужной точки, отложив отрезки к центру и на ось координат.
Заглянем в будущее
Тригонометрия, изучаемая в школе, имеет дело с прямолинейной системой координат, где, как бы это странно ни звучало, прямая - это прямая.
Но есть и более сложные способы работы с пространством: сумма углов треугольника здесь будет больше 180 градусов, а прямая в нашем представлении будет выглядеть как самая настоящая дуга.
Перейдем от слов к делу! Возьмите яблоко. Сделайте ножом три надреза, чтобы при взгляде сверху получался треугольник. Выньте получившийся кусок яблока и посмотрите на «рёбра», где заканчивается кожура. Они вовсе не прямые. Фрукт в ваших руках условно можно назвать круглым, а теперь представьте, какими сложными должны быть формулы, с помощью которых можно найти площадь вырезанного куска. А ведь некоторые специалисты решают такие задачи ежедневно.
Тригонометрические функции в жизни
Обращали ли вы внимание, что самый короткий маршрут самолёта из точки А в точку Б на поверхности нашей планеты имеет ярко выраженную форму дуги? Причина проста: Земля имеет форму шара, а значит, с помощью треугольников многого не вычислишь - здесь приходится использовать более сложные формулы.
Не обойтись без синуса/косинуса острого угла в любых вопросах, связанных с космосом. Интересно, что здесь сходится целое множество факторов: тригонометрические функции требуются при расчётах движения планет по окружностям, эллипсам и различным траекториям более сложных форм; процесса запуска ракет, спутников, шаттлов, отстыковки исследовательских аппаратов; наблюдении за далёкими звёздами и изучении галактик, до которых человек в обозримом будущем добраться не сможет.
В целом поле для деятельности человека, владеющего тригонометрией, очень широко и, по-видимому, со временем будет только расширяться.
Заключение
Сегодня мы узнали или, во всяком случае, повторили, что такое синус и косинус. Это понятия, которых не нужно бояться - стоит захотеть, и вы поймете их смысл. Помните, что тригонометрия - это не цель, а лишь инструмент, который можно использовать для удовлетворения реальных человеческих потребностей: строить дома, обеспечивать безопасность движения, даже осваивать просторы вселенной.
Действительно, сама по себе наука может казаться скучной, но как только вы найдете в ней способ достижения собственных целей, самореализации, процесс обучения станет интересным, а ваша личная мотивация возрастёт.
В качестве домашнего задания попробуйте найти способы применить тригонометрические функции в той сфере деятельности, которая интересна лично вам. Пофантазируйте, включите воображение, и тогда наверняка окажется, что новые знания пригодятся вам в будущем. Да и кроме того, математика полезна для общего развития мышления.
Соотношения между основными тригонометрическими функциями – синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом - задаются тригонометрическими формулами . А так как связей между тригонометрическими функциями достаточно много, то этим объясняется и обилие тригонометрических формул. Одни формулы связывают тригонометрические функции одинакового угла, другие – функции кратного угла, третьи – позволяют понизить степень, четвертые – выразить все функции через тангенс половинного угла, и т.д.
В этой статье мы по порядку перечислим все основные тригонометрические формулы, которых достаточно для решения подавляющего большинства задач тригонометрии. Для удобства запоминания и использования будем группировать их по назначению, и заносить в таблицы.
Навигация по странице.
Основные тригонометрические тождества
Основные тригонометрические тождества задают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Они вытекают из определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также понятия единичной окружности . Они позволяют выразить одну тригонометрическую функцию через любую другую.
Подробное описание этих формул тригонометрии, их вывод и примеры применения смотрите в статье .
Формулы приведения
Формулы приведения следуют из свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса , то есть, они отражают свойство периодичности тригонометрических функций, свойство симметричности, а также свойство сдвига на данный угол. Эти тригонометрические формулы позволяют от работы с произвольными углами переходить к работе с углами в пределах от нуля до 90 градусов.
Обоснование этих формул, мнемоническое правило для их запоминания и примеры их применения можно изучить в статье .
Формулы сложения
Тригонометрические формулы сложения показывают, как тригонометрические функции суммы или разности двух углов выражаются через тригонометрические функции этих углов. Эти формулы служат базой для вывода следующих ниже тригонометрических формул.
Формулы двойного, тройного и т.д. угла
Формулы двойного, тройного и т.д. угла (их еще называют формулами кратного угла) показывают, как тригонометрические функции двойных, тройных и т.д. углов () выражаются через тригонометрические функции одинарного угла . Их вывод базируется на формулах сложения.
Более детальная информация собрана в статье формулы двойного, тройного и т.д. угла .
Формулы половинного угла
Формулы половинного угла показывают, как тригонометрические функции половинного угла выражаются через косинус целого угла . Эти тригонометрические формулы следуют из формул двойного угла.
Их вывод и примеры применения можно посмотреть в статье .
Формулы понижения степени
Тригонометрические формулы понижения степени призваны содействовать переходу от натуральных степеней тригонометрических функций к синусам и косинусам в первой степени, но кратных углов. Иными словами, они позволяют понижать степени тригонометрических функций до первой.
Формулы суммы и разности тригонометрических функций
Основное предназначение формул суммы и разности тригонометрических функций заключается в переходе к произведению функций, что очень полезно при упрощении тригонометрических выражений. Указанные формулы также широко используются при решении тригонометрических уравнений, так как позволяют раскладывать на множители сумму и разность синусов и косинусов.
Формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус
Переход от произведения тригонометрических функций к сумме или разности осуществляется посредством формул произведения синусов, косинусов и синуса на косинус .
Copyright by cleverstudents
Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www.сайт, включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.
